Dowód na przekrojach

[neron0308]

Niech c będzie liczbą dodatnią nie będącą kwadratem liczby całkowitej. Niech przekrój \(\displaystyle{ A|B}\) określa liczbę \(\displaystyle{ \sqrt{c}}\) tak, że do klasy B należą wszystkie liczby wymierne dodatnie b, dla których \(\displaystyle{ b^{2}>c}\), a do klasy A - wszystkie pozostałe liczby wymierne. Udowodnić, że w klasie A nie ma największej, a w klasie B najmniejszej liczby.
Jest to oczywiste, ale jak to ładnie udowodnić?

[porfirion]

To nie jest prawda, bo \(\displaystyle{ c}\) może być jeszcze kwadratem liczby wymiernej \(\displaystyle{ p/q}\) i wtedy to \(\displaystyle{ p/q}\) jest największym elementem klasy \(\displaystyle{ A}\).

Ja bym udowodnił najpierw, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{c}}\) jest dobrze zdefiniowana i faktycznie istnieje posługując się analogicznym przekrojem do tego zdefiniowanego przez ciebie tylko dla liczb rzeczywistych. Trzeba będzie (ale to proste) pokazać, że kres dolny \(\displaystyle{ B}\) nie należy do \(\displaystyle{ B}\) i on nam pasuje.

Teraz jak wiadomo, że \(\displaystyle{ \sqrt{c}}\) istnieje i nie jest wymierny (założenie), no to faktycznie twoje \(\displaystyle{ A,B}\) nie mają liczby odpowiednio największej i najmniejszej bo jak wiadomo, liczbę niewymierną można w liczbach wymiernych dowolnie daleko przybliżać (jej rozwinięciem dziesiętnym).

[neron0308]

Ale gdyby \(\displaystyle{ a= \frac{p}{q}}\), gdzie p i q są względnie pierwsze, to \(\displaystyle{ \frac{p^{2}}{q^{2}} =c}\). A jeśli c jest całkowita oraz \(\displaystyle{ p^{2}}\) i \(\displaystyle{ q^{2}}\) są także względnie pierwsze to wynika z tego, że \(\displaystyle{ q^{2}=1 \Rightarrow q=1}\) a z tego wynika, że \(\displaystyle{ c=p^{2}}\) co jest sprzeczne z założeniem.
Dobrze myślę?

[porfirion]

Bardzo dobrze, tylko, że napisałeś:

Niech c będzie liczbą dodatnią nie będącą kwadratem liczby całkowitej.

a z tego jeszcze nie wynika, że \(\displaystyle{ c}\) jest całkowite XD

Krótko mówiąc, chodzi ci o dowód faktu, iż jeśli pierwiastek kwadratowy z liczby całkowitej nie jest całkowity, to jest niewymierny? Imo to co sam napisałeś jest w mocy: rozumując nie wprost
\(\displaystyle{ \sqrt{c}= \frac{p}{q} \Rightarrow c q^{2}= p^{2} \Rightarrow q=1}\).

A to faktycznie kończy dowód tego co napisałeś w pierwszym poście bo:
1) liczba niewymierna nie znajdzie się w zbiorze liczb wymiernych (taki zbiorami są przekroje \(\displaystyle{ A,B}\))
2) liczbę niewymierną można dowolnie blisko przybliżyć liczbami wymiernymi z góry i z dołu (zapis dziesiętny tej liczby)

[neron0308]

Czyli by udowodnić, że przekroje te nie mają największego i najmniejszego elementu to trzeba dowieść, że \(\displaystyle{ \sqrt{c}}\) jest niewymierny?

[porfirion]

Moim zdaniem tak.