Dowód pewnej elementarnej własności

[Lafoniz]

W jaki sposób wykazać, że każdą liczbę naturalną większą od \(\displaystyle{ 7}\) można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ n = 5k+3l}\) gdzie \(\displaystyle{ k, l \in \NN}\) ?

[lemoid]

Na kilka sposobów. Można indukcyjnie, można przyjrzeć się jak wygląda reszta z dzielenia liczb przez \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 5}\)...

[Chewbacca97]

Przedstawiony problem znany jest jako Problem Frobeniusa (lub pod bardziej wdzięczną nazwą: Chicken McNugget Theorem).

Twierdzenie: Jeśli dane są dwie liczby względnie pierwsze \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), to dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \ge (a-1)(b-1)}\) istnieją takie liczby naturalne \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\), że \(\displaystyle{ n=ak+bl}\). Dowód tego twierdzenia znajdziesz tutaj: .

Aby obliczyć liczbę, począwszy od której każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ n=ak+bl}\), należy policzyć \(\displaystyle{ n=(a-1)(b-1)}\).

Czyli \(\displaystyle{ n=(5-1)(3-1)}\), skąd \(\displaystyle{ n=8}\). I stąd każdą liczbę naturalną większą od 7 można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ n=5k+3l}\), gdzie \(\displaystyle{ k,l \in N}\).

Moim zdaniem warto również zajrzeć tutaj:

Kod: Zaznacz cały

http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/teoria_liczb/2014/03/31/Kraina_dwoch_monet/

.

[leszczu450]

Chewbacca97, a czy \(\displaystyle{ k,l}\) nie powinny przypadkiem być liczbami całkowitymi ?

[a4karo]

Jeżeli dopuścisz \(\displaystyle{ k,l}\) całkowite, to każdą liczbę całkowitą da się zapisać w postaci \(\displaystyle{ 5k+3l}\), ponieważ 5 i 3 są względnie pierwsze.