Równości zbiorze reszt z dzielenia.

[squared]

Mam pytanie o takie zadanie.

Sprawdzić czy w \(\displaystyle{ Z_5^3}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ \text{Lin}\left\{ (2,2,1),(1,2,4)\right\} = \text{Lin}\left\{ (1,3,1),(4,1,0)\right\}}\)

Jakieś wskazówki?

[Kartezjusz]

Sprawdź rząd macierzy rozpiętej przez wszystkie cztery wektory.

[squared]

Czyli mam utworzyć taką macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&2&1\\1&2&4\\1&3&1 \\ 4&1&0\end{array}\right]}\)

I liczyć jej rząd w \(\displaystyle{ Z_{5}}\)? I jak rząd wyjdzie \(\displaystyle{ 2}\) to zachodzi taka równość, czy inny ma być ten rząd, bo chyba tego nie czuję.

[Qń]

Rada Kartezjusza wydaje się być zupełnie chybiona.

Proponuję (po sprawdzeniu, że wymiary obu przestrzeni są takie same) sprawdzić czy oba wektory z jednej strony równości należą do podprzestrzeni z drugiej strony równości, czyli na przykład czy:
\(\displaystyle{ (2,2,1)\in \text{Lin}\left\{ (1,3,1),(4,1,0)\right\}\\
(1,2,4)\in \text{Lin}\left\{ (1,3,1),(4,1,0)\right\}}\)
Jeśli oba warunki byłyby prawdziwe, to żądana równość jest prawdziwa, a jeśli któryś się nie zgadza - to nie.

Q.