Istnienie liczb naturalnych spełniających równianie.
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 22 kwie 2014, o 13:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 10 razy
Istnienie liczb naturalnych spełniających równianie.
Udowodnić, że nie ma liczb naturalnych m,n, że \(\displaystyle{ (5+3 \sqrt{2} )^m=(3+5 \sqrt{2} )^n}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Istnienie liczb naturalnych spełniających równianie.
Zauważ,że
\(\displaystyle{ (5+3 \sqrt{2})^{2} +16 = (3+5 \sqrt{2} )^{2}}\)
Teraz liczby w nawiasach oznacz odpowiednio \(\displaystyle{ a,b}\) To tworzy układ równań
\(\displaystyle{ a^{2}+16=b^{2}}\)
\(\displaystyle{ a^{m}=b^{n}}\), aby obie liczby miały szansę się zrównać to \(\displaystyle{ m>n}\)
Drugą równość podnosimy do kwadratu i sprowadzamy działaniami na potęgach do
\(\displaystyle{ (a^{2})^{m}=(a^{2}+16)^{n}}\)
\(\displaystyle{ (5+3 \sqrt{2})^{2} +16 = (3+5 \sqrt{2} )^{2}}\)
Teraz liczby w nawiasach oznacz odpowiednio \(\displaystyle{ a,b}\) To tworzy układ równań
\(\displaystyle{ a^{2}+16=b^{2}}\)
\(\displaystyle{ a^{m}=b^{n}}\), aby obie liczby miały szansę się zrównać to \(\displaystyle{ m>n}\)
Drugą równość podnosimy do kwadratu i sprowadzamy działaniami na potęgach do
\(\displaystyle{ (a^{2})^{m}=(a^{2}+16)^{n}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Istnienie liczb naturalnych spełniających równianie.
To nie jest rozwiązanie, tylko coś co może pomóc. Można spóbować zlogarytmować o podstawie \(\displaystyle{ a^{2}}\) i wyrugować\(\displaystyle{ \frac{m}{n}}\). Kiedy logarytm z liczby jest wymierny?
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Istnienie liczb naturalnych spełniających równianie.
Pokaż, że dla \(\displaystyle{ a,b,c,d \in \mathbb{Q}}\) i \(\displaystyle{ m,n \in \mathbb{Z}_+}\) mamy \(\displaystyle{ (a+b\sqrt{2})^m = (c+d\sqrt{2})^n \iff (a-b\sqrt{2})^m = (c-d\sqrt{2})^n}\)