Istnienie liczb naturalnych spełniających równianie.

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
JQR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 22 kwie 2014, o 13:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 10 razy

Istnienie liczb naturalnych spełniających równianie.

Post autor: JQR »

Udowodnić, że nie ma liczb naturalnych m,n, że \(\displaystyle{ (5+3 \sqrt{2} )^m=(3+5 \sqrt{2} )^n}\).
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Istnienie liczb naturalnych spełniających równianie.

Post autor: Kartezjusz »

Zauważ,że
\(\displaystyle{ (5+3 \sqrt{2})^{2} +16 = (3+5 \sqrt{2} )^{2}}\)
Teraz liczby w nawiasach oznacz odpowiednio \(\displaystyle{ a,b}\) To tworzy układ równań
\(\displaystyle{ a^{2}+16=b^{2}}\)
\(\displaystyle{ a^{m}=b^{n}}\), aby obie liczby miały szansę się zrównać to \(\displaystyle{ m>n}\)
Drugą równość podnosimy do kwadratu i sprowadzamy działaniami na potęgach do
\(\displaystyle{ (a^{2})^{m}=(a^{2}+16)^{n}}\)
porfirion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 319
Rejestracja: 6 gru 2011, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 26 razy

Istnienie liczb naturalnych spełniających równianie.

Post autor: porfirion »

Hej, wybacz, że nie ogarniam, ale w jaki sposób ostatnia linijka daje sprzeczność?
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Istnienie liczb naturalnych spełniających równianie.

Post autor: Kartezjusz »

To nie jest rozwiązanie, tylko coś co może pomóc. Można spóbować zlogarytmować o podstawie \(\displaystyle{ a^{2}}\) i wyrugować\(\displaystyle{ \frac{m}{n}}\). Kiedy logarytm z liczby jest wymierny?
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

Istnienie liczb naturalnych spełniających równianie.

Post autor: Vax »

Pokaż, że dla \(\displaystyle{ a,b,c,d \in \mathbb{Q}}\) i \(\displaystyle{ m,n \in \mathbb{Z}_+}\) mamy \(\displaystyle{ (a+b\sqrt{2})^m = (c+d\sqrt{2})^n \iff (a-b\sqrt{2})^m = (c-d\sqrt{2})^n}\)
ODPOWIEDZ