Punkt wymierny na okręgu.

[JQR]

Udowodnij, że na okręgu o równaniu \(\displaystyle{ (x- \sqrt{2} )^2+(y- \sqrt{2} )^2=4}\) leży dokładnie jeden punkt o współrzędnych wymiernych.

[Lider_M]

Tym punktem jest \(\displaystyle{ (0,0)}\). Poprowadźmy proste \(\displaystyle{ y=tx}\), będziemy dzięki tej prostej znajdować drugi punkt na okręgu - będzie to \(\displaystyle{ \left(x,tx\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x=2\sqrt{2}\frac{t+1}{t^2+1}}\).
Stąd już prosto udowodnić tezę.

[kerajs]

Można też wprost:
\(\displaystyle{ x ^{2}-2 \sqrt{2}x +2+ y ^{2}-2 \sqrt{2}y +2=4}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}-2 \sqrt{2}x + y ^{2}-2 \sqrt{2}y =0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}+ y ^{2}=2 \sqrt{2}\left( x+y\right)}\)
Jeśli x i y są wymierne to lewa strona jest wymierna oraz suma x+y jest wymierna.
Kiedy iloczyn wymiernej i niewymiernej (prawa strona)jest wymierny (strona lewa)? Tylko gdy wymierną jest zero.
A skoro prawa strona jest zerem jedyną parą liczb ze strony lewej to spełniających są dwa zera.