Jednorodność nierówności etc.
-
Zahion
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Jednorodność nierówności etc.
Witam ! Jak ktoś miałby chęci i czas to prosiłbym Go o wytłumaczenie mi czym są nierówności / równości ? jednorodne. Prosiłbym też o jakieś przykłady. Dziękuje
-
Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Jednorodność nierówności etc.
Sprawdź sobie na wikipedii definicję funkcji jednorodnej. Łatwo można to pojęcie rozszerzyć na funkcje wielu zmiennych, to jest:
\(\displaystyle{ f\left(kx_{1}, \ kx_{2}, \ \ldots, \ kx_{n}\right)=k^{\alpha}f\left(x_{1}, \ x_{2}, \ \ldots, \ x_{n}\right)}\)
No i teraz każda nierówność jest postaci \(\displaystyle{ f\left(x_{1}, \ x_{2}, \ \ldots, \ x_{n}\right) \ge 0}\)
Jak funkcja jest jednorodna, to teraz dla dowolnie wybranej jednorodnej funkcji o wartościach dodatnich \(\displaystyle{ g\left(x_{1}, \ x_{2}, \ \ldots, \ x_{n}\right)}\) stopnia \(\displaystyle{ \beta}\), możemy sobie przyjąć założenie, że \(\displaystyle{ g\left(x_{1}, \ x_{2}, \ \ldots, \ x_{n}\right)=c}\), bowiem w przeciwnym razie możemy położyć \(\displaystyle{ k=\sqrt[\beta]{\frac{c}{g\left(x_{1}, \ x_{2}, \ \ldots, \ x_{n}\right)}}}\)
\(\displaystyle{ f\left(kx_{1}, \ kx_{2}, \ \ldots, \ kx_{n}\right)=k^{\alpha}f\left(x_{1}, \ x_{2}, \ \ldots, \ x_{n}\right)}\)
No i teraz każda nierówność jest postaci \(\displaystyle{ f\left(x_{1}, \ x_{2}, \ \ldots, \ x_{n}\right) \ge 0}\)
Jak funkcja jest jednorodna, to teraz dla dowolnie wybranej jednorodnej funkcji o wartościach dodatnich \(\displaystyle{ g\left(x_{1}, \ x_{2}, \ \ldots, \ x_{n}\right)}\) stopnia \(\displaystyle{ \beta}\), możemy sobie przyjąć założenie, że \(\displaystyle{ g\left(x_{1}, \ x_{2}, \ \ldots, \ x_{n}\right)=c}\), bowiem w przeciwnym razie możemy położyć \(\displaystyle{ k=\sqrt[\beta]{\frac{c}{g\left(x_{1}, \ x_{2}, \ \ldots, \ x_{n}\right)}}}\)