Dowód dla funkcji Eulera.

[mirkaluk]

Witajcie
Mam takie zadanie:
Pokaż, że dla dowolnych m,n naturalnych zachodzi:
\(\displaystyle{ \varphi(mn)\varphi(NWD(m,n))=\varphi(m)\varphi(n)NWD(m,n)}\),
gdzie \(\displaystyle{ \varphi(x)}\) - liczba elementów odwracalnych

Zaczęłam tak:
Załóżmy, że
\(\displaystyle{ NWD (m,n) = a}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ m=a \cdot b}\)
\(\displaystyle{ n=a \cdot c}\), gdzie
\(\displaystyle{ NWD (b,c) = 1}\)

I potem zaczęłam kombinować z rozkładem na czynniki pierwsze, tylko w pewnym momencie zacinam się, bo przecież pary: a,b oraz a,c nie muszą być względnie pierwsze.
Proszę o pomoc