Przekroje liczb

[neron0308]

Witam.
Jak zabrać się za poniższe zadania?
1. Utworzyć odpowiednie przekroje i udowodnić równości:
a) \(\displaystyle{ \sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{18}}\)
b) \(\displaystyle{ \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}}\)
2. Utworzyć przekrój wyznaczający liczbę \(\displaystyle{ 2^{ \sqrt{2}}}\)

[a4karo]

Przekrój definiujący \(\displaystyle{ \sqrt{18}}\) to \(\displaystyle{ (A,B)}\), gdzie
\(\displaystyle{ A=\{q\in \QQ: q<0 \vee q^2<18\},\ B=\{q\in \QQ: q>0 \wedge q^2>18\}}\)

Określ podobnie pozostałe przekroje i wykonaj na nich działania zgodnie z definicją.

[neron0308]

A gdzie mogę znaleźć informacje na temat tych przekrojów?
Bo mam przekroje wszystkie, ale nie wiem dokładnie jak wykonać na nich działania, a tym bardziej jak wyznaczyć przekrój wyznaczający liczbę \(\displaystyle{ 2^ \sqrt{2} }}\)

[a4karo]

Pierwszy rozdział Fichtenholza

[neron0308]

Mam książki Fichtenholza, ale nie znalazłem tam jak się sumuje dane przekroje. Na internecie znalazłem takie coś, ale teoria teorią. Nie potrafię zrobić tego na przykładzie. Mógłby ktoś mi wytłumaczyć jak to będzie?
Mam przekrój: \(\displaystyle{ \left( A,B\right)}\) taki, że \(\displaystyle{ A= \left\{ q \in Q:q<0 \vee q^{2}<2\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ B=\left\{ q \in Q: q>0 \wedge q^{2}>2\right\}}\).
Mam także przekrój \(\displaystyle{ \left( C,D\right)}\) taki, że : \(\displaystyle{ C=\left\{ q' \in Q: q' <0 \vee g'^{2}<8\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ D=\left\{ g' \in Q: q'>0 \wedge q'^{2}>8\right\}}\).
Oba te przekroje wyznaczają odpowiednio \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{8}}\). Chcę teraz za pomocą tych przekrojów wyznaczyć \(\displaystyle{ \sqrt{2} + \sqrt{8}}\), czyli wykonać działanie na przekrojach \(\displaystyle{ \left( A,B\right) + \left( C,D\right)}\). Nie wiem jak to zrobić...

[a4karo]

pokaż, że jezeli \(\displaystyle{ a\in A}\) i \(\displaystyle{ c\in C}\) to \(\displaystyle{ (a+c)^2<18}\) i podobnie dla \(\displaystyle{ B,D}\)

[neron0308]

Chodzi o to, że dla przekrojów \(\displaystyle{ (A,B)}\) i \(\displaystyle{ (C,D)}\) biorąc \(\displaystyle{ a \in A}\) oraz \(\displaystyle{ c \in C}\) będę miał albo \(\displaystyle{ a+c <0}\) albo dla \(\displaystyle{ 0<a^{2} <2 \wedge 0<c^{2}<8}\) : \(\displaystyle{ a^{2}+c^{2}< 10 \wedge a^{2}c^{2} <16 \Rightarrow 2ac<8}\) czyli ostatecznie \(\displaystyle{ a^{2}+2ac+c^{2}< 10+8 \Rightarrow (a+c)^{2}<18}\). Czy o to chodzi?

[Kartezjusz]

Tak, o to.