Liczba pierwsza i potęga

[G5imm9ow]

Analizowałem z kolegą rozwiązanie zadań i natkneliśmy na problem. W pewnym momencie rozwiązania, jego autor stwierdził, że:
jeśli \(\displaystyle{ n ^{n} + 1}\) jest liczbą pierwszą dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\), to \(\displaystyle{ n}\) nie posiada nieparzystych dzielników większych od jeden i w związku z tym \(\displaystyle{ n}\) jest potęgą dwójki. Moje pytanie brzmi: Dlaczego?

A tak poza tym, to witam to forum

[a4karo]

Coś w tej notacji chyba pomieszałaś: zakłądając, że \(\displaystyle{ n}\) jest naturalne, to pierwsze założenie jest zbędne (bo spełnione zawsze. Co to znaczy \(\displaystyle{ [n]}\)?

[G5imm9ow]

To oznacza n, po prostu, coś mi się pomieszało w latexie, już zaraz poprawiam. Przepraszam za problem :/

[a4karo]

wez \(\displaystyle{ n=5}\)

[G5imm9ow]

Jak wezmę \(\displaystyle{ n = 5}\) to wtedy wyjdzie nam liczba parzysta, co jest oczywiste, że nie będzie ona pierwsza. Ale dlaczego na przykład nie może być \(\displaystyle{ n = 6}\). Wyjdzie mi wtedy liczba nieparzysta, ale dlaczego nie będzie to liczba pierwsza ?

[Zahion]

Przypadek szczególny twierdzenia(\(\displaystyle{ a = n}\) :Jeśli liczba \(\displaystyle{ a ^{n} + 1}\) jest pierwsza i \(\displaystyle{ a > 1, a, n \in C^{+}}\), to n jest potęgą dwójki. Dowód
Załóżmy przeciwnie, że liczba \(\displaystyle{ a^{n} + 1}\) jest pierwsza i liczba n nie jest potęgą dwójki, wtedy istnieją takie liczby \(\displaystyle{ p \in N \wedge q \in C ^{+}}\), że \(\displaystyle{ n = 2 ^{p}q}\), gdzie \(\displaystyle{ q}\) - liczba nieparzysta i \(\displaystyle{ q \ge 3}\). Mamy wtedy, że \(\displaystyle{ a ^{n} + 1 = a ^{n} + 1 ^{n} = a ^{2 ^{p}q } + 1 ^{2 ^{p}q } = a ^{(2 ^{p})q } + 1 ^{(2 ^{p})q }}\).Podstawiając do wzoru \(\displaystyle{ x ^{r} + y ^{r}= (a+b)(a ^{r-1}- ... + b ^{r-1})}\) prawdziwego dla każdej liczby nieparzystej \(\displaystyle{ r}\) kolejno \(\displaystyle{ x = a ^{2 ^{p} }, y=1 ^{2 ^{p} }, r=q}\) mamy, że \(\displaystyle{ a ^{n} + 1 = (a ^{2 ^{p} }+1)(a ^{2 ^{p}-1 }- ... + 1)}\) teraz wystarczy zauważyć, że z założeń każdy z nawiasów jest większy od 1 stąd otrzymujemy sprzeczność, co dowodzi tezy.

[a4karo]

Gdyby \(\displaystyle{ n=ab}\) i \(\displaystyle{ a}\) byłoby nieparzyste, to
\(\displaystyle{ n^{ab}+1=(n^b+1)(n^{(a-1)b}-n^{(a-2)b}+n^{(a-3)b}-n^{(a-4)b}+\dots +1)}\), więc nie byłoby pierwsze.

[G5imm9ow]

Dziękuję za pomoc. Wystarczyło zajrzeć do działu obok... :/ Dzisiaj trochę rozkojarzony jestem Na dodatek, było to pokazane w kluczu... Aż mi głupio. Jeszcze raz dziękuję za pomoc