Clement's Theorem - albo coś podobnego.

[mirkaluk]

Witajcie
Mam do udowodnienia następującą rzecz:
Pokaż, że dla każdego \(\displaystyle{ n>2, n}\) i \(\displaystyle{ n+2}\) są pierwsze dokładnie wtedy, gdy
\(\displaystyle{ (n-1)! \neq 0 \pmod{n}}\) i \(\displaystyle{ (n-1)! \neq 0 \pmod{n+2}}\).

Znalazłam takie dwa dokumenty:
Theorem 2
(strona 24) Theorem 16

Moge prosić o pomoc w naprowadzeniu / znalezieniu związku?

[Zordon]

Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest złożone oraz \(\displaystyle{ n=ab}\) i dajmy na to \(\displaystyle{ a<b}\), to \(\displaystyle{ n| b!}\) oraz \(\displaystyle{ b<n-1}\). Tego rodzaju argument zadziała w tym zadaniu.

[mirkaluk]

Ok, dzięki, zrozumiałam!

Mam jeszcze takie dwa zadania. Mam jakieś zaćmienie, bo ogólnie teoria liczb mi idzie, a nad tymi zadaniami siedzę już jakiś czas. Proszę o pomoc.
Niech p będzie nieparzystą liczbą pierwszą.
1) Pokaż, że \(\displaystyle{ a \neq 0 \pmod{p}}\) jest liczbą kwadratową modulo \(\displaystyle{ p \Leftrightarrow a^* \pmod{p}}\) jest liczbą kwadratową, \(\displaystyle{ aa^* = 1\pmod{p}}\).
2) Udowodnij, że \(\displaystyle{ -1}\) nie jest liczbą kwadratową modulo \(\displaystyle{ p=3\pmod{4}}\).

[Zordon]

1) wszystkie równości modulo \(\displaystyle{ p}\). Skoro \(\displaystyle{ a=x^2}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x\neq 0}\), to \(\displaystyle{ a^{-1}=(x^2)^{-1}=(x^{-1})^2}\).
2) Tutaj przydaje się fakt, że \(\displaystyle{ a\neq 0}\) jest kwadratem mod p wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ a^{(p-1)/2}=1}\) (znowu mod p). I tutaj latwo wychodzi, ze \(\displaystyle{ (-1)^{(p-1)/2}=-1}\)

[mirkaluk]

Bardzo dziękuję.