Znajdź wszystkie rozwiązania w liczbach całkowitych

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
kate _19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 31 paź 2010, o 17:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 10 razy

Znajdź wszystkie rozwiązania w liczbach całkowitych

Post autor: kate _19 »

Znajdź wszystkie rozwiązania w liczbach całkowitych równania \(\displaystyle{ y^{3}+1= 3^{x}}\)
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Znajdź wszystkie rozwiązania w liczbach całkowitych

Post autor: Zahion »

\(\displaystyle{ y^{3} + 1 = (y+1)(y^{2}-y+1)}\) a stąd jako tako \(\displaystyle{ y+1 = 3^{a}, y^{2}-y+1 = 3^{b}}\), gdzie \(\displaystyle{ a + b = x, a, b \in C}\). Mamy więc, że \(\displaystyle{ 3^{2a}=y^{2}+2y+1}\) i dalej \(\displaystyle{ y^{2}-y+1 = (y^{2}+2y+1)-3y=3^{2a}-3y=3^{b}}\) a stąd \(\displaystyle{ 3^{2a-1} = 3^{b-1} + y}\). Oczywiście wynika stąd, że \(\displaystyle{ 3|y}\) ale \(\displaystyle{ 3|y^{3}+1}\) co jest niemożliwe, więc \(\displaystyle{ y=0}\) i \(\displaystyle{ x=0}\). Może też być \(\displaystyle{ b=1}\) wtedy oczywiście \(\displaystyle{ 3^{2a} = 3y+3}\) a stąd \(\displaystyle{ y=-1 \vee y=2}\). Warunek spełnia tylko \(\displaystyle{ y=2, x=3}\)
ODPOWIEDZ