Równanie diofantycze.
-
JQR
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 22 kwie 2014, o 13:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 10 razy
Równanie diofantycze.
Pokazać, że równanie \(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3=2}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych.
-
Zahion
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Równanie diofantycze.
Przekształcając mamy, że \(\displaystyle{ -(x^{3}+y ^{3}+z ^{3})+2=0}\). Stąd dalej, że \(\displaystyle{ -(x^{3}+y ^{3})+2=z^{3}}\) Niech \(\displaystyle{ x=-(m), y=-(n)}\). Równanie przybiera postać
\(\displaystyle{ m^{3}+n^{3}+2=z^{3}}\). Niech więc teraz dla pewnego \(\displaystyle{ k \in C}\) zachodzi
\(\displaystyle{ z = k +1, n=k-1}\). Stąd mamy, że \(\displaystyle{ z^{3} - n^{3} - 2 = (k+1)^{3} - (k-1)^3 - 2=6k^{2}}\). Więc \(\displaystyle{ m = \sqrt[3]{6k ^{2} }}\). Wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ k = 6q^{3},q \in C}\) Otrzymujemy wtedy, że \(\displaystyle{ x = -6q^{2}, y=-6q^{3}+1, z=6q^{3} + 1}\)
\(\displaystyle{ m^{3}+n^{3}+2=z^{3}}\). Niech więc teraz dla pewnego \(\displaystyle{ k \in C}\) zachodzi
\(\displaystyle{ z = k +1, n=k-1}\). Stąd mamy, że \(\displaystyle{ z^{3} - n^{3} - 2 = (k+1)^{3} - (k-1)^3 - 2=6k^{2}}\). Więc \(\displaystyle{ m = \sqrt[3]{6k ^{2} }}\). Wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ k = 6q^{3},q \in C}\) Otrzymujemy wtedy, że \(\displaystyle{ x = -6q^{2}, y=-6q^{3}+1, z=6q^{3} + 1}\)