Równianie w liczbach wymiernch.

[JQR]

Pokaż, że równanie: \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2+x+y+z=1}\) nie ma rozwiązań wymiernych.

[Mathix]

Ja bym tak to rozpisał:
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2+x+y+z=1 \\ (x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}+(y+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}+(z+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}=1 \\ (x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{1}{2})^2+(z+\frac{1}{2})^2=\frac{7}{4} \\ (2x+1)^2+(2y+1)^2+(2z+1)^2=7}\)

Teraz trzeba udowodnić, że \(\displaystyle{ 7}\) nie da się przedstawić w postaci sumy kwadratów trzech liczb wymiernych, ale nie wiem jak do tego dojść.

[Zahion]

Żadna liczba postaci \(\displaystyle{ 24n + 7}\) nie da się przedstawić w postaci sumy kwadratów trzech liczb.

[JQR]

Żadna liczba postaci \(\displaystyle{ 24n + 7}\) nie da się przedstawić w postaci sumy kwadratów trzech liczb.

Jak to udowodnić?

[Zahion]

Nie mam pojęcie i nawet nie wiem czy nie jest to przypadek dla liczb całkowitych. Poszukaj w internecie tego twierdzenia, gdzieś mi się kiedyś obiło.

[kalwi]

myślę, że fakt przedstawiony tutaj kończy to zadanie (konkretnie w tym przypadku \(\displaystyle{ n,m=0}\))

[Zahion]

W dowodzie tym korzysta się z modulo, co za tym idzie liczby \(\displaystyle{ x,y,z}\) są całkowite. Pytanie autora dotyczyło liczb wymiernych.

[Ponewor]

No dobrze, ale to nam nic nie przeszkadza. Niech \(\displaystyle{ x=\frac{p_{1}}{q_{1}}}\) i tak dalej przy całkowitych \(\displaystyle{ p_{i}, \ q_{i}}\).
Wtedy mamy równoważnie równanie \(\displaystyle{ \left(\frac{2p_{1}+q_{1}}{q_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{2p_{2}+q_{2}}{q_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{2p_{3}+q_{3}}{q_{3}}\right)^{2}=7}\)
czyli równoważnie
\(\displaystyle{ \left(q_{2}q_{3}\left(2p_{1}+q_{1}\right)\right)^{2}+\left(q_{3}q_{1}\left(2p_{2}+q_{2}\right)\right)^{2}+\left(q_{1}q_{2}\left(2p_{3}+q_{3}\right)\right)^{2}=7q_{1}^{2}q_{2}^{2}q_{3}^{2}}\)
I znów po lewej stronie mamy sumę kwadratów trzech liczb całkowitych, więc chcemy pokazać, że strona prawa jest odpowiedniej postaci. Niech standardowo \(\displaystyle{ q_{1}=2^{k_{1}}n_{1}}\) i tak dalej, przy nieujemnych \(\displaystyle{ k_{i}}\), oraz nieparzystych \(\displaystyle{ n_{i}}\).
Wtedy prawa strona równa jest:
\(\displaystyle{ 7q_{1}^{2}q_{2}^{2}q_{3}^{2}=7 \cdot 2^{2k_{1}}n_{1}^{2} \cdot 2^{2k_{2}}n_{2}^{2} \cdot 2^{2k_{3}}n_{3}^{2}=4^{k_{1}+k_{2}+k_{3}} \cdot 7n_{1}^{2}n_{2}^{2}n_{3}^{2}}\)
Zauważmy, że liczby \(\displaystyle{ n_{i}-1}\) i \(\displaystyle{ n_{i}+1}\) są kolejnymi liczbami parzystymi, a zatem jedna z nich jest podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\), a druga przez \(\displaystyle{ 2}\), więc ich iloczyn jest podzielny przez \(\displaystyle{ 8}\), czyli \(\displaystyle{ 8 \mid \left(n_{i}-1\right)\left(n_{i}+1\right)=n_{i}^{2}-1 \Leftrightarrow n_{i}^{2} \equiv 1 \pmod{8}}\)
Co za tym idzie:
\(\displaystyle{ 7n_{1}^{2}n_{2}^{2}n_{3}^{2} \equiv 7 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \equiv 7 \pmod{8} \ \Leftrightarrow 7n_{1}^{2}n_{2}^{2}n_{3}^{2}=8m+7}\)
więc nasze wyrażenie po prawej stronie istotnie jest postaci \(\displaystyle{ 4^{k_{1}+k_{2}+k_{3}}\left(8m+7\right)}\)
co pokazać należało.