Suma pierwiastków bedąca liczbą wymierną.

[JQR]

Czy istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\) taka, że \(\displaystyle{ \sqrt{n-1}+ \sqrt{n+1} \in \QQ}\) ?

[Zahion]

Nie. Dość łatwo udowodnić, że co najwyżej jedna z liczb \(\displaystyle{ \sqrt{n-1}, \sqrt{n+1}}\) może być naturalna dla \(\displaystyle{ n \in N}\)(skąd dalej można snuć wnioski). Natomiast inaczej :
Załóżmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ q \in Q}\) istnieje taka liczba \(\displaystyle{ n \in N}\) , że zachodzi
\(\displaystyle{ \sqrt{n-1} + \sqrt{n+1} = q}\) Stąd dalej mamy, że \(\displaystyle{ q ^{4}-4q ^{2}n + 4=0}\) I twierdzenie o pierwiastkach wymiernych załatwia sprawę.

[Ponewor]

Alternatywnie wykorzystamy twierdzenie, które mówi nam, że jeżeli pierwiastek z liczby całkowitej jest wymierny, to jest całkowity.
Załóżmy, że wymierna jest liczba \(\displaystyle{ \sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}\)
Wówczas wymierna jest również liczba:
\(\displaystyle{ \sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}}\)
Po dodaniu stronami i odjęciu otrzymujemy wymierność liczb \(\displaystyle{ \sqrt{n+1}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{n-1}}\), a na mocy przytoczonego twierdzenia również ich całkowitość, co oznacza, że \(\displaystyle{ n-1}\) i \(\displaystyle{ n+1}\) są kwadratami liczb całkowitych, a taka sytuacja nie występuje (chodzi o różnicę kwadratów równą \(\displaystyle{ 2}\)).