Czy liczba jest kwadratem liczby naturalnej?

[mariusz2409]

Mamy liczbę \(\displaystyle{ a=24681012...100}\) jest to liczba która składa się z kolejnych parzystych liczb od 2 do 100 i trzeba zbadać czy jest ona kwadratem.

We wzorcówce mamy liczenie sumy cyfr tej liczby i na tej podstawie stwierdzamy, że ta suma jest liczbą podzielną przez 3 ale nie przez 9 - ok , ale np dla liczby 25 mamy sumę 7, dla 16 też 7 czyli ta zasada nie działa. Czy moze dziala ona tylko dla liczby ktore maja wiecej niz dwie cyfry ?

[Ponewor]

Jak to zasada nie działa? Czy w tym przypadku możesz wywnioskować, że dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\)? Nie, więc musisz szukać innej metody po prostu, ale w dalszym ciągu zasada jest poprawna całkowicie.

[mariusz2409]

OK, zastawia mnie jak wygląda dowód tej zasady, mógłbyś go zaprezentować ?

[klaustrofob]

ale jaka zasada?
prawdziwe jest następujące twierdzenie: jeżeli liczba \(\displaystyle{ n}\) jest kwadratem (tj. \(\displaystyle{ n=k^2}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k}\)), i \(\displaystyle{ n}\) dzieli się przez liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p}\), to \(\displaystyle{ n}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ p^2}\). dowód: w rozkładzie liczby \(\displaystyle{ k}\) na czynniki pierwsze musi wystąpić liczba \(\displaystyle{ p}\). wtedy w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(\displaystyle{ k^2}\) występuje liczba \(\displaystyle{ p^2}\).

[mariusz2409]

chodzi mi o zasadę, że jak suma cyfry n jakieś liczby jest podzielna przez \(\displaystyle{ k^2}\) to ta liczba jest kwadratem

[Ponewor]

Nie ma takiej zasady. Kontrprzykład - suma cyfr \(\displaystyle{ 13}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2^{2}}\), ale \(\displaystyle{ 13}\) nie jest kwadratem. Tam wykorzystano inną zasadę której nie pojąłeś. klaustrofob wspomniał o \(\displaystyle{ p \mid n^{2} \Rightarrow p^{2} \mid n^{2}}\). Natomiast w podanym przez Ciebie przykładzie poprzednik implikacji jest spełniony dla \(\displaystyle{ p=3}\), ale nie następnik.

Dowód tego co pisał klaustrofob
Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą naturalną, zaś \(\displaystyle{ p}\) liczbą pierwszą. Wówczas \(\displaystyle{ p \mid n^{2} \Rightarrow p^{2} \mid n^{2}}\)
Wykorzystamy prawo przechodności implikacji zajmiemy się dowodem takich oto dwóch: \(\displaystyle{ p \mid n^{2} \Rightarrow p \mid n}\) oraz \(\displaystyle{ p \mid n \Rightarrow p^{2} \mid n^{2}}\), z których otrzymamy tezę, przy czym drugą jako istotnie łatwiejszą zostawiam Tobie.

Zatem mamy do udowodnienia na razie \(\displaystyle{ p \mid n^{2} \Rightarrow p \mid n}\).
Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ p \nmid n}\). Wówczas skoro jedyne dzielniki \(\displaystyle{ p}\) to \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ p}\), to jedynym wspólnym dzielnikiem \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ n}\) jest \(\displaystyle{ 1}\), a zatem są to liczby względnie pierwsze. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki mówi nam, że liczba dzieląca iloczyn dwóch liczb i pierwsza względem jednego z czynników jest dzielnikiem drugiego. Tak i tu liczba \(\displaystyle{ p}\) dzieli iloczyn \(\displaystyle{ n \cdot n}\) i jest względnie pierwsza z jednym z czynników, a zatem dzieli drugi z nich, co daje \(\displaystyle{ p \mid n}\), co stoi w sprzeczności z wcześniej poczynionymi założeniami.