Dowód zależności z NWD i NWW

[Lafoniz]

Witam, w mojej książeczce licealnej od matematyki spotkałem się z następującym twierdzeniem, które jak zwykle pokazane jest bez dowodu (co to w ogóle ma być? jakaś matematyka humanistyczna czy co?). Twierdzenie to z pewnością dla was jest oczywiste w sensie jego znajomości, jednak dla mnie istotne jest w jaki sposób się jego dowodzi.

\(\displaystyle{ NWW(a,b) \cdot NWD(a,b) = ab}\)

Można to ładnie pokazać rozkładając liczby na czynniki pierwsze, jednak to nie jest żaden formalny dowód, prosiłbym o pomoc, wskazówkę, cokolwiek.

Pozdrawiam, Lafoniz

[bartek118]

Można to ładnie pokazać rozkładając liczby na czynniki pierwsze, jednak to nie jest żaden formalny dowód, prosiłbym o pomoc, wskazówkę, cokolwiek.

A to czemu nie?

[Lafoniz]

Miałem na myśli mechaniczne rozłożenie dwóch przykładowych liczb na czynniki pierwsze i porównanie ich z iloczynem NWD i NWD, jednak nie widzę w tym żadnego formalnego dowodu, można w ten sposób co najwyżej sprawdzić, że dla wielu liczb taka zależność faktycznie jest prawidłowa.

[bartek118]

Można przecież ten dowód przeprowadzić także formalnie, tj. możemy napisać sobie:
\(\displaystyle{ a = \sum_{i=1}^m p_i^{\alpha_i}}\)
oraz
\(\displaystyle{ b= \sum_{i=1}^m p_i^{\beta_i}}\)
gdzie \(\displaystyle{ p_i}\) - i-ta liczba pierwsza, \(\displaystyle{ \alpha_i \geq 0}\), \(\displaystyle{ \beta_i \geq 0}\).
I teraz trzeba zapisać w tych terminach, że
\(\displaystyle{ NWD(a,b) = \sum_{i=1}^m p_i^{\min \{ \alpha_i, \beta_i \}}}\)
oraz
\(\displaystyle{ NWW(a,b) = \sum_{i=1}^m p_i^{\max \{ \alpha_i, \beta_i \}}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ NWD(a,b) \cdot NWW(a,b) = \sum_{i=1}^m p_i^{\min \{ \alpha_i, \beta_i \} + \max \{ \alpha_i, \beta_i \}} = \sum_{i=1}^m p_i^{\alpha_i + \beta_i} = ab}\)

[fawq]

bartek118, tobie chodziło chyba o iloczyn a nie sumę?