dwie ostatnie cyfry liczby, z bardzo wysokiej potęgi

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
lightinside
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 796
Rejestracja: 25 lis 2011, o 22:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań/Łódź
Podziękował: 111 razy
Pomógł: 29 razy

dwie ostatnie cyfry liczby, z bardzo wysokiej potęgi

Post autor: lightinside »

\(\displaystyle{ 123^{512}}\)

Jak odczytać dwie ostatnie cyfry z tego potwora?
virtue
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 229
Rejestracja: 3 cze 2012, o 18:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 32 razy

dwie ostatnie cyfry liczby, z bardzo wysokiej potęgi

Post autor: virtue »

\(\displaystyle{ 123 ^{512}=41 ^{512} \cdot 3 ^{512}}\) jak wyznaczysz dwie ostatnie cyfry każdego ze składnika iloczynu i wymnożysz je to 2 ostatnie cyfry z tego co wyjdzie to dwie ostatnie cyfry całego wyrażenia.
Awatar użytkownika
lightinside
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 796
Rejestracja: 25 lis 2011, o 22:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań/Łódź
Podziękował: 111 razy
Pomógł: 29 razy

dwie ostatnie cyfry liczby, z bardzo wysokiej potęgi

Post autor: lightinside »

Mam to 41 rozbić na mniejsze?(podobnie jak Ty zrobiłeś?)

I co zrobić z tą ekstremalną potęgą?

\(\displaystyle{ \left( 3^{256}\right) ^2}\)

\(\displaystyle{ \left( \left( \left( 3^{64}\right) ^2\right) ^2\right)^2}\)

Na jakiej podstawie oszacować te dwie ostatnie liczby? bo nawet gdy sobie zmniejsze potęge tym psosobem to się zalicze zanim uzyskam wynik.
virtue
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 229
Rejestracja: 3 cze 2012, o 18:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 32 razy

dwie ostatnie cyfry liczby, z bardzo wysokiej potęgi

Post autor: virtue »

Musisz znaleź okres dwóch ostatnich cyfr potęgi 3(mnożąc 3 tak długo aż dwie ostatnie cyfry się powtórzą)
dopiero powtórzy się przy \(\displaystyle{ 3 ^{23}}\)
czyli okres jest 22
\(\displaystyle{ 512=22 \cdot 23+16}\)
\(\displaystyle{ 3 ^{16}=.....21}\)
okres 2 ostatnich cyfr potęgi 41 to 4
\(\displaystyle{ 512=4 \cdot 128}\)
\(\displaystyle{ 41 ^{4}=...61}\)
czyli dwie ostatnie cyfry to 61
No to wyznaczamy dwie ostatnie cyfry całości :
\(\displaystyle{ 61 \cdot 21=1281}\)
czyli dwie ostatnie cyfry to 81
Awatar użytkownika
lightinside
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 796
Rejestracja: 25 lis 2011, o 22:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań/Łódź
Podziękował: 111 razy
Pomógł: 29 razy

dwie ostatnie cyfry liczby, z bardzo wysokiej potęgi

Post autor: lightinside »

Według wolframa to \(\displaystyle{ 3^{23}}\) to taka liczba:

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=3%5E23&dataset=&equal=Submit

\(\displaystyle{ 94 143 178 827}\)
I nie bardzo widzę by się tu dwie ostatnie cyfry powtarzały, możesz mi jakoś to wytłumaczyć? Nie do końca rozumiem...

Dobrze już wiem o co Ci chodziło

A jak obliczyć resztę z dzielenia liczby \(\displaystyle{ 2^{113}}\)
przez \(\displaystyle{ 17}\) ?
Ostatnio zmieniony 23 kwie 2014, o 17:36 przez lightinside, łącznie zmieniany 1 raz.
virtue
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 229
Rejestracja: 3 cze 2012, o 18:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 32 razy

dwie ostatnie cyfry liczby, z bardzo wysokiej potęgi

Post autor: virtue »

\(\displaystyle{ 2^{113}= 2^{109} \cdot 17-17 \cdot 2^{105}+17 \cdot 2^{101}-17 \cdot 2^{97}+.....+17 \cdot 2^{5}-17-15}\)
Ostatnio zmieniony 23 kwie 2014, o 23:32 przez Ponewor, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

dwie ostatnie cyfry liczby, z bardzo wysokiej potęgi

Post autor: Ponewor »

\(\displaystyle{ 17=2^{4}+1 \mid 2^{8}-1}\)
ODPOWIEDZ