Reszty z dzielenia i ich odwrotności mod p

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
lubieplacki23
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 5 sty 2013, o 21:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Reszty z dzielenia i ich odwrotności mod p

Post autor: lubieplacki23 »

Witam, nie wiem jak udowodnić następujące twierdzenia:

Suma \(\displaystyle{ 1+2+...+(p-1)}\) przystaje \(\displaystyle{ (mod \ p)}\) do sumy \(\displaystyle{ \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{p-1}}\).

Suma \(\displaystyle{ 1^{2}+2^{2}+...+ (p-1)^{2}}\) przystaje \(\displaystyle{ (mod \ p)}\) do sumy \(\displaystyle{ \frac{1}{ 1^{2} }+ \frac{1}{ 2^{2} }+...+ \frac{1}{ (p-1)^{2} }}\).
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Reszty z dzielenia i ich odwrotności mod p

Post autor: Ponewor »

Udowodnij, że funkcja \(\displaystyle{ a^{-1}}\) jest różnowartościowa.
lubieplacki23
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 5 sty 2013, o 21:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Reszty z dzielenia i ich odwrotności mod p

Post autor: lubieplacki23 »

No tylko wtedy wiem, że każdej jednej z liczb \(\displaystyle{ \frac{1}{1}, \frac{1}{2},..., \frac{1}{p-1}}\) odpowiada maksymalnie jedna z drugiego zbioru. Nie wiem jak pokazać, że dla każdej jest to dokładnie jedna.
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Reszty z dzielenia i ich odwrotności mod p

Post autor: Ponewor »

Załóż nie wprost, że przy pewnym \(\displaystyle{ a}\), dla \(\displaystyle{ b=1, \ 2, \ 3, \ \ldots , \ p-1}\) zachodzi \(\displaystyle{ ab \neq 1}\). Wykorzystaj udowodnioną różnowartościowość i zasadę szufladkową Dirichleta.
ODPOWIEDZ