Nierówność z trzema zmiennymi.

[Zahion]

Wykaż, że dla każdych całkowitych, dodatnich liczb \(\displaystyle{ a, b, c}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt[3]{ a^{5} + b^{5} + c^{5}} }{2} >
\sqrt{a- \frac{2}{ \sqrt[3]{(a ^{5}+b ^{5}+c ^{5}) } } }( \frac{a ^{4}+ \frac{16}{ \sqrt[ \frac{4}{3} ]{(a^{5} + b^{5} + c^{5})} } }{a ^{2}+ \frac{4}{ \sqrt[ \frac{2}{3} ]{a^{5} + b^{5} + c^{5}} } })+ \sqrt{b- \frac{2}{ \sqrt[3]{a^{5} + b^{5} + c^{5}} } } (\frac{b ^{4}+ \frac{16}{ \sqrt[ \frac{4}{3} ]{a^{5} + b^{5} + c^{5}} }}{ b^{2}+ \frac{4}{ \sqrt[ \frac{2}{3} ]{(a ^{5}+b ^{5}+c ^{5}) } }})+ \sqrt{c- \frac{2}{ \sqrt[3]{(a ^{5}+b ^{5}+c ^{5}) } }}( \frac{c ^{4}+ \frac{16}{ \sqrt[ \frac{4}{3} ]{(a ^{5}+b ^{5}+c ^{5}) } } }{c ^{2}+ \frac{4}{ \sqrt[ \frac{2}{3} ]{(a ^{5}+b ^{5}+c ^{5}) } } })}\).


Przy czym wyrażenia pod pierwiastkami są oczywiście większe bądz równe zero.
Rozstrzygnij, czy może zachodzić równość.

[lichotka]

Podziwiam, że chciało Ci się to wklepywać. Skąd masz to zadanie?

[Zahion]

Dziękuje . Potrafię udowodnić tą nierówność dla \(\displaystyle{ a,b,c \ge 2}\) natomiast nie wiem co z przypadkami (czy ta nierówność jest prawdziwa), gdy któraś z liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) wynosi \(\displaystyle{ 1}\). Zadanie znalazłem w pewnej pracy.