Udowodnij ,że liczbę można przedstawić

[ITman]

Udowodnij ,że każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci.

\(\displaystyle{ a_{1} \cdot 1!+a_{2} \cdot 2!+...+a_{n} \cdot n!}\)

Sprawdzam ,czy wzór jest prawdziwy dla małych liczb. np dla liczby \(\displaystyle{ 1}\).

\(\displaystyle{ a_{1} \cdot 1! = 1}\) TRUE, więc

Przejdźmy ,więc do dowodu.
Teza: Każdą liczbę mniejszą od \(\displaystyle{ \left( m+1 \right) !}\) można przedstawić w postaci

\(\displaystyle{ a_{1}+a_{2} \cdot 2!+...+a_{m-1} \cdot \left( m-1 \right) !+a_{m} \cdot m!}\)

Założenie:
Twierdzenie prawdziwe dla wszystkich liczb mniejszych od \(\displaystyle{ n}\).
Niech \(\displaystyle{ m}\) będzie najmniejszą liczbą taką ,że \(\displaystyle{ m! \le n < \left( m+1 \right) !}\)

Dowód:
Przedział \(\displaystyle{ \left\langle m!, \left( m+1 \right) !\right)}\) podzielmy na \(\displaystyle{ m}\) przedziałów długości \(\displaystyle{ m!}\).
Czyli \(\displaystyle{ \left\langle m!, \ 2 \cdot m! \right) , \ \left\langle 2 \cdot m!, \ 3 \cdot m! \right) , \ \ldots, \ \left\langle m \cdot m!, \ \left( m+1 \right) ! \right)}\)

Liczba \(\displaystyle{ n}\) należy do jednego z tych przedziałów.
Co implikuje Istnienie \(\displaystyle{ a_{m}}\) należącego do \(\displaystyle{ \left\{ 1, \ 2, \ \ldots , \ m\right\}}\), takiego że
\(\displaystyle{ a_{m} \cdot m! \le n< \left( a_{m}+1 \right) \cdot m!}\)
Z tego twierdzenia wynika ,że
\(\displaystyle{ n-a_{m} \cdot m!<m!}\)
\(\displaystyle{ n-a_{m} \cdot m!=a_{1}+a_{2} \cdot 2!+...+a_{m-1} \cdot \left( m-1 \right) !}\)
Co na mocy założenia indukcyjnego kończy dowód.

Nie jestem w tym za dobry dobrze ??

[Ponewor]

A czegoś nie pominąłeś w treści? Bo w żądanej postaci każdą liczbę \(\displaystyle{ k}\) możemy zapisać trywialnie jako \(\displaystyle{ k=k \cdot 1!}\).

[ITman]

Faktycznie nie podałem przedziału.

Udowodnij ,że każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci.

\(\displaystyle{ a_{1} \cdot 1!+a_{2} \cdot 2!+...+a_{n} \cdot n!}\)
,gdzie \(\displaystyle{ 0 \le a_{i} \le i}\).

\(\displaystyle{ 12=2 \cdot6}\)
np. \(\displaystyle{ 12}\) zapisałbym tak \(\displaystyle{ 12=0 \cdot 1!+0 \cdot 2!+2 \cdot 3!}\)