Bardzo wysoka potęga

[krystynapl]

Cześć, od kilku dni szukam w internecie jakiegoś sposobu i nie mogę sobie poradzić, więc zdecydowałam się napisać na forum. Czy jest jakiś sposób na oszacowanie bardzo wysokiej potęgi danej liczby? Nigdzie nie potrafiłam znaleźć.
Chodzi np o coś takiego:
\(\displaystyle{ 0,678^{150}}\)
Z góry dziękuję za wskazówki i pozdrawiam!

[cosinus90]

Oszacowanie? Przy tak ogromnym wykładniku widać, że to będzie w przybliżeniu zero.

[krystynapl]

Tak, to jest oczywiste, że wynik będzie bardzo mały, ale czy istnieje jakaś metoda pozwalająca oszacować np ile będzie "zer" zanim wystąpi pierwsza cyfra niezerowa? Lub coś w tym stylu? Chodzi mi o sposób, w którym mogłabym policzyć wyrażenie typu
\(\displaystyle{ 0,987^{123}}\)
bez użycia kalkulatora?

#edit
A może coś bliższego 'jedynce', typu
\(\displaystyle{ 0,9999876^{12345}}\)
do jeszcze wyższej potęgi?
Chodzi mi o algorytm dzięki któremu mogłabym sama to obliczyć (bez pomocy wolframa:) )

[cosinus90]

Ja takiego algorytmu nie znam i nie sądzę aby istniał. Ale chętnie się zdziwię, jeśli ktoś go zna i tutaj poda.

[Mefistocattus]

Tak, to jest oczywiste, że wynik będzie bardzo mały, ale czy istnieje jakaś metoda pozwalająca oszacować np ile będzie "zer" zanim wystąpi pierwsza cyfra niezerowa? Lub coś w tym stylu? Chodzi mi o sposób, w którym mogłabym policzyć wyrażenie typu
\(\displaystyle{ 0,987^{123}}\)
bez użycia kalkulatora?

Jeśli masz pod ręką tablice logarytmiczne, to możesz skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \log a^n = n \log a}\).

Np. \(\displaystyle{ 0.987^{123} = 10^{\log 0.987^{123}} = 10^{123 \log 0.987} \approx 10^{123 \cdot (-0.0057)} = 10^{-0.7011}}\).
(W istocie, \(\displaystyle{ 0.987^{123}}\) jest liczbą na tyle dużą, że po przecinku nie ma ani jednego zera!)


Bez użycia tablic, natomiast mnożąc pisemnie na kartce, można skorzystać z takiego przybliżenia: \(\displaystyle{ \log (1-k) \approx - a \cdot k}\), gdzie \(\displaystyle{ a = \log e \approx 0.4343}\), dla \(\displaystyle{ k}\) odpowiednio bliskiego zeru.

Np. \(\displaystyle{ \log 0.998 = \log (1-0.002) \approx -0.4343*0.002 = -0.0008686}\), co możemy wykorzystać tu: \(\displaystyle{ 0.998^{10000} = 10^{10000 \log 0.998} \approx 10^{10000 \cdot (-0.0008686)} = 10^{-8.686}}\), zatem osiem zer po przecinku.
(W rzeczywistości \(\displaystyle{ 0.998^{10000} = 10^{-8.694}}\) — cóż, jest to tylko przybliżenie.)


W skrócie, liczba \(\displaystyle{ (1-k)^n}\) będzie miała około \(\displaystyle{ 0.4343\cdot k\cdot n}\) zer po przecinku.

[Mariusz M]

Ja takiego algorytmu nie znam i nie sądzę aby istniał. Ale chętnie się zdziwię, jeśli ktoś go zna i tutaj poda.

Na logarytm dwójkowy istnieje algorytm wykorzystujący tylko cztery działania arytmetryczne
Gdyby chciał go odwrócić to trzeba będzie skorzystać z pierwiastków co może nieco
skomplikować obliczenia