Dowód z liczbami pierwszymi - wytłumaczcie.

[Dreamer1x6xX]

355/ A. Kiełbasa

b) Znajdź wszystkie liczby naturalne "n" takie, że \(\displaystyle{ n^{4}+4}\) jest liczbą pierwszą:

no i rozpisałem sobie to tak:

\(\displaystyle{ n^{4}+4 \Rightarrow n^{4}+4n^{2}+4-4n^{2} \Rightarrow (n^{2}+2)^{2}-(2n)^{2} \Rightarrow (n^{2}-2n+2)(n^{2}+2n+2)}\)

No i co dalej?

W książce mam tylko:

" więc \(\displaystyle{ n^{4}+4}\) gdzie: \(\displaystyle{ n \in N}\) jest liczbą pierwszą \(\displaystyle{ \Leftrightarrow (n^{2}-2n+1=1}\) i \(\displaystyle{ (n^2+2n+1)}\) jest liczbą pierwszą.

rozwiązaniem pierwszego równania jest \(\displaystyle{ n=1}\), więc gdy \(\displaystyle{ n=1 \Rightarrow n^2+2n+1=5}\) Zatem szukaną liczbą naturalną jest "1" "

Jak dojść do tego, że pierwsze równanie musi być równe "1", bo nie rozumiem?

Czy rozchodzi się o to, że istnieje tylko taka jedna liczba pierwsza, dla której iloczyn liczb pierwszych da nam kolejną liczbę pierwszą? I jest nią właśnie "1"?

[kerajs]

\(\displaystyle{ n^{4}+4 = (n^{2}-2n+2)(n^{2}+2n+2)}\)
Ponieważ n jest naturalne to swoją liczbę rozłożyłeś na iloczyn dwóch liczb całkowitych. Kiedy ten iloczyn ma szanse być liczbą pierwszą ? Gdy mniejszy z czynników iloczynu wynosi 1, bo w innej sytuacji będzie liczbą złożoną (iloczynem liczb).
Stąd
\(\displaystyle{ n^{2}-2n+2=1 \Leftrightarrow n=1}\)
Następnie wstawiasz ja do Twojej liczby
\(\displaystyle{ n^{4}+4 =1^4+4=5}\)
która okazała się być liczba pierwszą.