355/ A. Kiełbasa
b) Znajdź wszystkie liczby naturalne "n" takie, że \(\displaystyle{ n^{4}+4}\) jest liczbą pierwszą:
no i rozpisałem sobie to tak:
\(\displaystyle{ n^{4}+4 \Rightarrow n^{4}+4n^{2}+4-4n^{2} \Rightarrow (n^{2}+2)^{2}-(2n)^{2} \Rightarrow (n^{2}-2n+2)(n^{2}+2n+2)}\)
No i co dalej?
W książce mam tylko:
" więc \(\displaystyle{ n^{4}+4}\) gdzie: \(\displaystyle{ n \in N}\) jest liczbą pierwszą \(\displaystyle{ \Leftrightarrow (n^{2}-2n+1=1}\) i \(\displaystyle{ (n^2+2n+1)}\) jest liczbą pierwszą.
rozwiązaniem pierwszego równania jest \(\displaystyle{ n=1}\), więc gdy \(\displaystyle{ n=1 \Rightarrow n^2+2n+1=5}\) Zatem szukaną liczbą naturalną jest "1" "
Jak dojść do tego, że pierwsze równanie musi być równe "1", bo nie rozumiem?
Czy rozchodzi się o to, że istnieje tylko taka jedna liczba pierwsza, dla której iloczyn liczb pierwszych da nam kolejną liczbę pierwszą? I jest nią właśnie "1"?
Dowód z liczbami pierwszymi - wytłumaczcie.
-
- Użytkownik
- Posty: 303
- Rejestracja: 17 sty 2014, o 02:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gniezno
- Podziękował: 36 razy
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Dowód z liczbami pierwszymi - wytłumaczcie.
\(\displaystyle{ n^{4}+4 = (n^{2}-2n+2)(n^{2}+2n+2)}\)
Ponieważ n jest naturalne to swoją liczbę rozłożyłeś na iloczyn dwóch liczb całkowitych. Kiedy ten iloczyn ma szanse być liczbą pierwszą ? Gdy mniejszy z czynników iloczynu wynosi 1, bo w innej sytuacji będzie liczbą złożoną (iloczynem liczb).
Stąd
\(\displaystyle{ n^{2}-2n+2=1 \Leftrightarrow n=1}\)
Następnie wstawiasz ja do Twojej liczby
\(\displaystyle{ n^{4}+4 =1^4+4=5}\)
która okazała się być liczba pierwszą.
Ponieważ n jest naturalne to swoją liczbę rozłożyłeś na iloczyn dwóch liczb całkowitych. Kiedy ten iloczyn ma szanse być liczbą pierwszą ? Gdy mniejszy z czynników iloczynu wynosi 1, bo w innej sytuacji będzie liczbą złożoną (iloczynem liczb).
Stąd
\(\displaystyle{ n^{2}-2n+2=1 \Leftrightarrow n=1}\)
Następnie wstawiasz ja do Twojej liczby
\(\displaystyle{ n^{4}+4 =1^4+4=5}\)
która okazała się być liczba pierwszą.