"Trójwymiarowe" liczby zespolone

[Lafoniz]

Witam, wiadomym faktem jest, że możemy daną liczbę rzeczywistą utożsamiać z pewnym punktem na osi liczbowej i odwrotnie, dany punkt jednoznacznie określa liczbę rzeczywistą. Możemy następnie pójść dalej i każdą uporządkowaną parę liczb utożsamić z pewną liczbą zespoloną i odwrotnie.

W tym momencie nasuwa się moje pytanie, którego niestety moja nauczycielka nie zrozumiała. Jak nazywamy liczby, które są pewną uporządkowaną trójką określoną w trójwymiarowym kartezjańskim układzie? Wybaczcie za brak kultury matematycznej, ale czy to ma jakiś związek z kwaternionami?

Jeśli takie liczby istnieją - to czy można to dalej sensownie ciągnąć do n wymiarowej przestrzeni?

Pozdrawiam.

[JakimPL]

Z góry zaznaczam, że dokonam wielu (być może rażących ) uproszczeń.

Może warto przytoczyć coś, co w algebrze nazywamy ciałem liczb - mniej formalnie jest to zbiór z abstrakcyjnymi działaniami dodawania i mnożenia o "przyzwoitych" cechach takich jak łączność czy przemienność. W tym zbiorze dla dodawania wyróżniamy tak zwane elementy neutralne: dodawania - \(\displaystyle{ 0}\) oraz mnożenia - \(\displaystyle{ 1}\). Życzymy sobie, by każdy element zbioru miał element przeciwny (\(\displaystyle{ -a}\)) oraz odwrotny, o ile nie jest zerem (tzn. istnieje \(\displaystyle{ \frac{1}{a}}\)).

Podstawowymi ciałami, na których pracujemy to ciała liczb wymiernych \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\), liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) i wreszcie liczb zespolonych \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\). Natomiast zbiór liczb całkowitych nie tworzy ciała - na ogół odwrotności liczb przestają być całkowite ("wypadają" z tego zbioru).

Jest też wiele innych, nawet skończonych, ale może nie warto w tym momencie o nich mówić - w razie potrzeby mogę podać przykłady.

Pojawienie się liczb zespolonych wynika z jednego faktu, który znacząco różni ciała liczb rzeczywistych czy wymiernych od ciała liczb zespolonych. Podstawowym problemem tych dwóch pierwszych ciał jest fakt, iż mając pewne wielomiany wyższego stopnia niż \(\displaystyle{ 1}\), np. \(\displaystyle{ x^2+4}\), nie jesteśmy w stanie ich rozłożyć na czynniki postaci \(\displaystyle{ (x-a)}\), innymi słowy - nie mają pierwiastków. W przypadku ciała liczb rzeczywistych sprowadza to się do tego, że nie istnieje liczba o tej własności, że \(\displaystyle{ i^2 = -1}\).

Zatem naturalnym ruchem jest wprowadzenie takiej liczby - jednostki urojonej, co bezpośrednio prowadzi do liczb zespolonych. W takiej strukturze każdy wielomian ma pierwiastek - twierdzenie, które stwierdza ten fakt, nazywa się zasadniczym twierdzeniem algebry. Czy można tym samym trickiem powiększyć ciało liczb zespolonych? Spróbujmy:

\(\displaystyle{ k^2 = -i}\)

Okazuje się, że takie \(\displaystyle{ k}\) w ciele liczbach zespolonych istnieje i ma się dobrze:

\(\displaystyle{ k=\pm\frac{1-i}{\sqrt{2}}}\)

Nie jesteśmy w stanie "wyjść" poza ciało liczb zespolonych tymi metodami. Mówimy, że ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte. Tym niemniej można stworzyć coś nad liczbami zespolonymi. Tym czymś są kwaterniony \(\displaystyle{ \mathbb{H}}\). Nie będę wprowadzać konstrukcji, natomiast wyróżniającą cechą tej struktury jest równość:

\(\displaystyle{ i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1}\)

przy czym \(\displaystyle{ i}\), \(\displaystyle{ j}\), \(\displaystyle{ k}\) są istotnie różne. Jednakże coś zaczyna się już tutaj "psuć", mianowicie zachodzi m.in. nieoczekiwana równość \(\displaystyle{ jk = -kj = i}\). Tym samym struktura kwaternionów już nie jest przemienna. Formalnie jest to tak zwany pierścień z dzieleniem. No dobrze, co dalej?

W algebrze funkcjonuje twierdzenie Frobeniusa, które orzeka, że w pewnym sensie nie jesteśmy w stanie uzyskać niczego więcej niż te trzy konstrukcje z zachowaniem "przyzwoitości" struktury. Brzmi ono tak:

Każda łączna algebra z dzieleniem nad ciałem liczb rzeczywistych jest izomorficzna albo z ciałem liczb rzeczywistych, albo z ciałem liczb zespolonych, albo z algebrą kwaternionów.

Izomorficzność oznacza mniej więcej posiadanie dokładnie tych samych własności struktury - ciała izomorficzne są w pewnym sensie nierozróżnialne.

Zatem odpowiedź na pytanie jest dwojaka: można iść w "wyższy wymiar", ale podstawowe cechy działania na liczbach wtedy się zatracają. Dla "trzeciego wymiaru" ciężko jest wprowadzić jakieś sensowne działanie dodawania i mnożenia zachowujące wyżej wymienione cechy, których oczekujemy od ciał.

[Althorion]

Rozszerzając trochę wypowiedź JakimaPL,: sensownie (tzn. w taki sposób, by otrzymana algebra miała wciąż jeszcze jakieś przydatne własności) da się opisywać tylko przestrzenie o wymiarach będących potęgą dwójki, ale ta „sensowność” coraz bardziej maleje (gdyż algebry będą tracić kolejne własności): oktoniony (dla ośmiowymiarowej przestrzeni liniowej) tracą łączność, a w sedenionach (dla szensastowymiarowej występują już nietrywialne dzielniki zera (tzn. takie liczby \(\displaystyle{ a, b \neq 0}\), że \(\displaystyle{ a \cdot b = 0}\)).

[Lafoniz]

Bardzo ciekawy i przyjemny mini-wykład, jednak wciąż mam jedno pytanie co do tego przejścia na 3 wymiar. Jednostka urojona podniesiona do kwadratu "przesuwa się" przez samą właściwość mnożenia dając nam w rezultacie wynik w postaci -1. Czy taka "nowa" jednostka urojona, określona przez trójkę liczb - nie posiadałaby jakichś ciekawych właściwości? Czy trick z powiększeniem ciała liczb zespolonych nie jest równoważny z moim poprzednim pytaniem?

Edit: Althorion - bardzo ciekawa właściwość dotycząca przestrzeni, nie to jest chyba dziełem przypadku? Jesteś w stanie określić z czego to wynika? (Zakładając, że nie jest to zbyt trudny problem dla laika.)

[VillagerMTV]

A takie praktyczne zastosowanie oktonionów i sedenionów? Czy to taki twór czekający jeszcze na sensowne zastosowanie?