Nietrudno wykazać, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi:
\(\displaystyle{ n^{n+1}\,|\,\left(n^2\right)!}\)
Natomiast można pójść krok dalej:
Liczba \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ n^{n+2}}\) nie dzieli \(\displaystyle{ \left(n^2\right)!}\).
Niezbyt wymagające, ale ciekawe. \(\displaystyle{ 2}\) można zastąpić \(\displaystyle{ 3}\), dalej wzmocnić tezy się już nie da. Można za to podejść inaczej.
Niech \(\displaystyle{ k>1}\) będzie ustaloną liczbą naturalną, a \(\displaystyle{ n>k}\). Wówczas liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\) jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ n^{n+k}}\) nie dzieli \(\displaystyle{ \left(n^2\right)!}\).