Podzielność liczby przez silnię kwadratu

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
JakimPL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2401
Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 459 razy

Podzielność liczby przez silnię kwadratu

Post autor: JakimPL »

Nietrudno wykazać, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi:

\(\displaystyle{ n^{n+1}\,|\,\left(n^2\right)!}\)

Natomiast można pójść krok dalej:

Liczba \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ n^{n+2}}\) nie dzieli \(\displaystyle{ \left(n^2\right)!}\).

Niezbyt wymagające, ale ciekawe. \(\displaystyle{ 2}\) można zastąpić \(\displaystyle{ 3}\), dalej wzmocnić tezy się już nie da. Można za to podejść inaczej.

Niech \(\displaystyle{ k>1}\) będzie ustaloną liczbą naturalną, a \(\displaystyle{ n>k}\). Wówczas liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\) jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ n^{n+k}}\) nie dzieli \(\displaystyle{ \left(n^2\right)!}\).
ODPOWIEDZ