całkowite rozwiazania układu równan

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
kamil86
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 2 kwie 2014, o 20:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 2 razy

całkowite rozwiazania układu równan

Post autor: kamil86 »

Nie mam pojęcia, jak się do tego zabrać.


Wyznaczyć wszystkie całkowite rozwiązania układu równań:
a) \(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=180\\NWD(x,y)=30\end{cases}}\)

b) \(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=720\\NWD(x,y)=4\end{cases}}\)
Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

całkowite rozwiazania układu równan

Post autor: musialmi »

Na przykładzie a). Wiadomo, że największy wspólny dzielnik ich obu to 30. Zatem możemy je zapisać w postaci mnożenia 30 i czegoś. Niech będzie: \(\displaystyle{ x=30k}\) i \(\displaystyle{ y=30m}\). Podstawiamy. Dzielimy obustronnie przez 30. Dostajemy \(\displaystyle{ k+m=6}\). Wyznaczmy którąś z niewiadomych pomocniczych, np. k. \(\displaystyle{ k=6-m}\). Teraz dla dowolnego m dostajemy k. Podstawiając te liczby do x i y, dostajemy gamę rozwiązań. Skoro zadanie mówi, by wyznaczyć całkowite rozwiązania, to trzeba napisać, że m (lub k, lub oba) należą do zbioru liczb całkowitych.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

całkowite rozwiazania układu równan

Post autor: yorgin »

musialmi pisze:Dostajemy \(\displaystyle{ k+m=6}\). Wyznaczmy którąś z niewiadomych pomocniczych, np. k. \(\displaystyle{ k=6-m}\). Teraz dla dowolnego m dostajemy k. Podstawiając te liczby do x i y, dostajemy gamę rozwiązań.
Mała uwaga - liczby \(\displaystyle{ k}\) oraz \(\displaystyle{ m}\) muszą być względnie pierwsze.
Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

całkowite rozwiazania układu równan

Post autor: musialmi »

Dlaczego? Dla par np. \(\displaystyle{ (3;3), (4;2)}\) też działa...
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

całkowite rozwiazania układu równan

Post autor: yorgin »

A jakie jest \(\displaystyle{ \text{NWD}(90,90)}\) albo \(\displaystyle{ \text{NWD}(60,120)}\) ?
Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

całkowite rozwiazania układu równan

Post autor: musialmi »

Ale przecież \(\displaystyle{ k=6-m}\), więc nie ma szans na takie pary. Czy nie?
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

całkowite rozwiazania układu równan

Post autor: bakala12 »

A co powiesz na \(\displaystyle{ k=3,m=3}\)? Nie działa...
Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

całkowite rozwiazania układu równan

Post autor: musialmi »

Prawda, dziękuję za poprawki.
ODPOWIEDZ