Udowodnij - suma wszystkich dzielników

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
Tomasz B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 312
Rejestracja: 1 lis 2004, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rybnik

Udowodnij - suma wszystkich dzielników

Post autor: Tomasz B »

W jaki sposób rozwiązać zadania tego typu:

Udowdnij, że jeżeli suma wszystkich dzielników pewnej liczby naturalnej jest dwa razy większa od tej liczby, to suma odwrotności tych dzielników wynosi 2.
_el_doopa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 453
Rejestracja: 22 sie 2004, o 23:09
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 16 razy

Udowodnij - suma wszystkich dzielników

Post autor: _el_doopa »

\(\displaystyle{ \sum d_i =2n}\)
ale
\(\displaystyle{ 2n=\sum d_i=\sum \frac{n}{d_i}=n\sum \frac{1}{d_i}}\)
stad
\(\displaystyle{ 2=\sum \frac{1}{d_i}}\)
Ciamolek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 440
Rejestracja: 4 mar 2008, o 17:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zielona Góra
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 42 razy

Udowodnij - suma wszystkich dzielników

Post autor: Ciamolek »

Może dziwnie odświeżać temat po ponad trzech latach, ale link znalazłem w 'zbiorze zadań z teorii liczb', stąd piszę tutaj:

\(\displaystyle{ \sum d_i=\sum \frac{n}{d_i}}\)

Skąd to się wzięło? Jeśli \(\displaystyle{ d_{i}}\) jest sumą dzielników liczby n, to weźmy dla przykładu n=8. Wtedy: \(\displaystyle{ d_{i}=15 \neq \frac{8}{15}}\)
Co źle zrozumiałem?
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

Udowodnij - suma wszystkich dzielników

Post autor: Sylwek »

To nie do końca tak jak kolega wyżej napisał

Zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ d_i}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ n}\), to \(\displaystyle{ \frac{n}{d_i}}\) też jest jej dzielnikiem. Zatem zachodzi równość zbiorów:

\(\displaystyle{ \lbrace d_1, d_2, \ldots, d_k \rbrace = \lbrace \frac{n}{d_1}, \frac{n}{d_2}, \ldots, \frac{n}{d_k} \rbrace}\),
gdzie \(\displaystyle{ d_1, d_2, \ldots d_k}\) są wszystkimi dzielnikami liczby \(\displaystyle{ n}\).

Zatem:
\(\displaystyle{ 2n=d_1+d_2+\ldots+d_k=\frac{n}{d_1}+\frac{n}{d_2}+\ldots+\frac{n}{d_k}}\)

Już wszystko gra
Ostatnio zmieniony 31 mar 2008, o 06:26 przez Sylwek, łącznie zmieniany 1 raz.
szablewskil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 261
Rejestracja: 18 maja 2007, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kruszyny
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 21 razy

Udowodnij - suma wszystkich dzielników

Post autor: szablewskil »

Sylwek pisze:
Zatem:
\(\displaystyle{ 2=d_1+d_2+\ldots+d_k=\frac{n}{d_1}+\frac{n}{d_2}+\ldots+\frac{n}{d_k}}\)
Chyba zgubiles n na poczatku, powinno byc:
\(\displaystyle{ 2n=d_1+d_2+\ldots+d_k=\frac{n}{d_1}+\frac{n}{d_2}+\ldots+\frac{n}{d_k}}\)
Ciamolek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 440
Rejestracja: 4 mar 2008, o 17:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zielona Góra
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 42 razy

Udowodnij - suma wszystkich dzielników

Post autor: Ciamolek »

OK, dzięki za wyjaśnienie - teraz już wszystko jasne. Swoją drogą: ciekawa ta równość zbiorów.
patryk00714
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 111
Rejestracja: 18 wrz 2012, o 13:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Śmigiel
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 13 razy

Udowodnij - suma wszystkich dzielników

Post autor: patryk00714 »

To są dokładnie te same dzielniki, tylko w odwrotnej kolejności.
Przykładowo dla \(\displaystyle{ n=10}\) mamy dzielniki \(\displaystyle{ d_i}\) takie \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,5,10\right\}}\) a dla \(\displaystyle{ \frac{n}{d_i}}\) mamy \(\displaystyle{ \left\{ 10,5,2,1\right\}}\)
Ostatnio zmieniony 15 lut 2015, o 21:38 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
ODPOWIEDZ