W jaki sposób rozwiązać zadania tego typu:
Udowdnij, że jeżeli suma wszystkich dzielników pewnej liczby naturalnej jest dwa razy większa od tej liczby, to suma odwrotności tych dzielników wynosi 2.
Udowodnij - suma wszystkich dzielników
Udowodnij - suma wszystkich dzielników
\(\displaystyle{ \sum d_i =2n}\)
ale
\(\displaystyle{ 2n=\sum d_i=\sum \frac{n}{d_i}=n\sum \frac{1}{d_i}}\)
stad
\(\displaystyle{ 2=\sum \frac{1}{d_i}}\)
ale
\(\displaystyle{ 2n=\sum d_i=\sum \frac{n}{d_i}=n\sum \frac{1}{d_i}}\)
stad
\(\displaystyle{ 2=\sum \frac{1}{d_i}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 440
- Rejestracja: 4 mar 2008, o 17:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zielona Góra
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 42 razy
Udowodnij - suma wszystkich dzielników
Może dziwnie odświeżać temat po ponad trzech latach, ale link znalazłem w 'zbiorze zadań z teorii liczb', stąd piszę tutaj:
\(\displaystyle{ \sum d_i=\sum \frac{n}{d_i}}\)
Skąd to się wzięło? Jeśli \(\displaystyle{ d_{i}}\) jest sumą dzielników liczby n, to weźmy dla przykładu n=8. Wtedy: \(\displaystyle{ d_{i}=15 \neq \frac{8}{15}}\)
Co źle zrozumiałem?
\(\displaystyle{ \sum d_i=\sum \frac{n}{d_i}}\)
Skąd to się wzięło? Jeśli \(\displaystyle{ d_{i}}\) jest sumą dzielników liczby n, to weźmy dla przykładu n=8. Wtedy: \(\displaystyle{ d_{i}=15 \neq \frac{8}{15}}\)
Co źle zrozumiałem?
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Udowodnij - suma wszystkich dzielników
To nie do końca tak jak kolega wyżej napisał
Zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ d_i}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ n}\), to \(\displaystyle{ \frac{n}{d_i}}\) też jest jej dzielnikiem. Zatem zachodzi równość zbiorów:
\(\displaystyle{ \lbrace d_1, d_2, \ldots, d_k \rbrace = \lbrace \frac{n}{d_1}, \frac{n}{d_2}, \ldots, \frac{n}{d_k} \rbrace}\),
gdzie \(\displaystyle{ d_1, d_2, \ldots d_k}\) są wszystkimi dzielnikami liczby \(\displaystyle{ n}\).
Zatem:
\(\displaystyle{ 2n=d_1+d_2+\ldots+d_k=\frac{n}{d_1}+\frac{n}{d_2}+\ldots+\frac{n}{d_k}}\)
Już wszystko gra
Zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ d_i}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ n}\), to \(\displaystyle{ \frac{n}{d_i}}\) też jest jej dzielnikiem. Zatem zachodzi równość zbiorów:
\(\displaystyle{ \lbrace d_1, d_2, \ldots, d_k \rbrace = \lbrace \frac{n}{d_1}, \frac{n}{d_2}, \ldots, \frac{n}{d_k} \rbrace}\),
gdzie \(\displaystyle{ d_1, d_2, \ldots d_k}\) są wszystkimi dzielnikami liczby \(\displaystyle{ n}\).
Zatem:
\(\displaystyle{ 2n=d_1+d_2+\ldots+d_k=\frac{n}{d_1}+\frac{n}{d_2}+\ldots+\frac{n}{d_k}}\)
Już wszystko gra
Ostatnio zmieniony 31 mar 2008, o 06:26 przez Sylwek, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 261
- Rejestracja: 18 maja 2007, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kruszyny
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 21 razy
Udowodnij - suma wszystkich dzielników
Chyba zgubiles n na poczatku, powinno byc:Sylwek pisze:
Zatem:
\(\displaystyle{ 2=d_1+d_2+\ldots+d_k=\frac{n}{d_1}+\frac{n}{d_2}+\ldots+\frac{n}{d_k}}\)
\(\displaystyle{ 2n=d_1+d_2+\ldots+d_k=\frac{n}{d_1}+\frac{n}{d_2}+\ldots+\frac{n}{d_k}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 111
- Rejestracja: 18 wrz 2012, o 13:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 13 razy
Udowodnij - suma wszystkich dzielników
To są dokładnie te same dzielniki, tylko w odwrotnej kolejności.
Przykładowo dla \(\displaystyle{ n=10}\) mamy dzielniki \(\displaystyle{ d_i}\) takie \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,5,10\right\}}\) a dla \(\displaystyle{ \frac{n}{d_i}}\) mamy \(\displaystyle{ \left\{ 10,5,2,1\right\}}\)
Przykładowo dla \(\displaystyle{ n=10}\) mamy dzielniki \(\displaystyle{ d_i}\) takie \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,5,10\right\}}\) a dla \(\displaystyle{ \frac{n}{d_i}}\) mamy \(\displaystyle{ \left\{ 10,5,2,1\right\}}\)
Ostatnio zmieniony 15 lut 2015, o 21:38 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .