Twierdzenie Sturma - lokalizacja miejsc zerowych wielomianu

[Texas]

Witam, mam pytanie odnośnie owego twierdzenia. Powiedzmy, że mam pewien wielomian, no i dzielę go przez pochodną i tak dalej, aż w końcu któraś reszta z dzielenia jest równa zero, wtedy musiałbym podzielić wielomian przez zero a przecież tak być nie może. Dlatego po prostu reszta z dzielenia nie może się równać zero, ale dlaczego? A może powinienem w tym momencie zakończyć rozumowanie, ale wtedy ostatnim elementem ciągu wielomianu Sturma będzie zero, i nie wiem jak by to było ze znakiem zera. W książce (Elementy algebry wyższej) jest to chyba opisane jednak nie w sposób dla mnie zrozumiały. Czy byłby ktoś w stanie mi to wytłumaczyć?

[norwimaj]

Nie musisz dzielić przez zero. Wystarczy Ci ciąg wielomianów ucięty przed wielomianem zerowym. Ostatni element tego ciągu jest wielomianem stałym, o ile wyjściowy wielomian nie miał pierwiastków wielokrotnych. Jeśli jednak miał pierwiastki wielokrotne, to jest to dodatkowa komplikacja, którą trzeba uwzględnić.

[Texas]

Aha czyli jeśli wielomian nie ma pierwiastków wielokrotnych, to zero wyjść nie może? bo troche nie rozumiem skąd tam to zero się bierze. Bo w tym twierdzeniu zakladamy ze ten wielomian jest bez pierwiastkow wielokrotnych, i mam tam napisane cos takiego "jeśli wielomian ma pierwiastki wielokrotne, to tworząc iloraz \(\displaystyle{ \phi/(\phi{'} ,\phi)}\) otrzymujemy wielomian ktory ma te same pierwiastki co \(\displaystyle{ \phi}\) lecz jednokrotne." Czyli mam rozumiec, że budując łańcuch Sturma wielomianu \(\displaystyle{ \phi}\) dziele wielomian przez jego pochodną zeby właśnie nie bylo tych pierwiastkow wielokrotnych?

[norwimaj]

Aha czyli jeśli wielomian nie ma pierwiastków wielokrotnych, to zero wyjść nie może?

Prędzej czy później musi wyjść zero, ale Ciebie interesują wielomiany niezerowe, czyli te, które się pojawiły, zanim otrzymałeś zero.

Czyli mam rozumiec, że budując łańcuch Sturma wielomianu \(\displaystyle{ \phi}\) dziele wielomian przez jego pochodną zeby właśnie nie bylo tych pierwiastkow wielokrotnych?

Nie. Twierdzenie Sturma zakłada, że wielomian nie ma pierwiastków wielokrotnych. Natomiast jeśli pierwiastki wielokrotne są, to od razu nie możemy skorzystać z tw. Sturma, tylko trzeba zrobić coś takiego:

"jeśli wielomian ma pierwiastki wielokrotne, to tworząc iloraz \(\displaystyle{ \phi/(\phi{'} ,\phi)}\) otrzymujemy wielomian ktory ma te same pierwiastki co \(\displaystyle{ \phi}\) lecz jednokrotne."

[Texas]

Aha rozumiem a co do tego ostatniego - co dokładnie oznacza zapis \(\displaystyle{ (\phi{'},\phi)}\) ?

[norwimaj]

Największy wspólny dzielnik wielomianów \(\displaystyle{ \phi'}\) i \(\displaystyle{ \phi}\).

[Texas]

aha chyba juz jest wszystko jasne, bardzo dziękuję za pomoc