Rozmieszczenie 99 liczb naturalnych w n grupach

[Espeqer]

Liczby naturalne od 1 do 99 włącznie rozmieszczono w n grupach tak, by spełnione były następujące warunki:

1. Każda z liczb występuje w dokładnie jednej grupie.
2. W każdej grupie są przynajmniej dwie liczby.
3. Jeżeli dwie liczby są w tej samej grupie to ich suma nie jest podzielna przez 3.

Ile wynosi najmniejsza liczba n, dla której można to zrobić?

Będę niezmiernie wdzięczny za pomoc. Od razu mówię, że nie ogarniam permutacji i tego rozmieszczania liczb, także prosiłbym o wytłumaczenie.

[norwimaj]

W jednej grupie nie mogą być dwie liczby podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\). Zatem są co najmniej \(\displaystyle{ 33}\) grupy. Trzeba jeszcze pokazać, że podział na \(\displaystyle{ 33}\) grupy jest możliwy.

[Espeqer]

Dobrze, ale czym jest grupa i jakie liczby przykładowo mogą się tam znajdować?

[kropka+]

Liczby podziel sobie na takie:
\(\displaystyle{ a=3n-2}\) gdzie \(\displaystyle{ n=1,2,...,33}\), czyli \(\displaystyle{ a \in \left\{1,4,7,10,...,97\right\}}\)

\(\displaystyle{ b=3n-1}\) , czyli \(\displaystyle{ b \in \left\{ 2,5,8,11,...,98\right\}}\)

\(\displaystyle{ c=3n}\) , czyli \(\displaystyle{ c \in \left\{ 3,6,9,12,...,99\right\}}\)

Liczby \(\displaystyle{ a}\) mogą być w jednej grupie, nie mogą być z liczbami \(\displaystyle{ b}\) i mogą być z liczbami \(\displaystyle{ c}\).
Liczby \(\displaystyle{ b}\) mogą być w jednej grupie i mogą być z liczbami \(\displaystyle{ c}\).
Liczby \(\displaystyle{ c}\) nie mogą być w jednej grupie.

Pomyśl, czy można podzielić te liczby na \(\displaystyle{ 33}\) grupy.

[Espeqer]

No ok. Podzielone są na 3 grupy a, b i c. Tylko nie rozumiem dlaczego:

Liczby \(\displaystyle{ a}\) mogą być w jednej grupie, nie mogą być z liczbami \(\displaystyle{ b}\) i mogą być z liczbami \(\displaystyle{ c}\), skoro np. w grupie \(\displaystyle{ a}\) nie występuje żadna liczba \(\displaystyle{ c}\).

Oraz co oznacza, że liczby mogą być w jednej grupie?

[kropka+]

Jest \(\displaystyle{ n}\) grup. Wcześniej już było wyjaśnione, że \(\displaystyle{ n \ge 33}\). Grupa to np. 5-cioelementowy zbiór liczb \(\displaystyle{ \left\{ 1,6,7,13,94 \right\}}\). To tak jakbyś pomieszał te \(\displaystyle{ 99}\) liczb i poukładał je w \(\displaystyle{ n}\) grupach spełniających trzy warunki podane w treści zadania.