liczby pierwsze w ciągu
-
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 20 gru 2013, o 18:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 41 razy
liczby pierwsze w ciągu
Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze będące wyrazami ciągu \(\displaystyle{ \begin{cases} a_1=1\\a_{n+1}=(n+1)a_n+(-1)^{n+1}\end{cases}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
liczby pierwsze w ciągu
Rozpiszmy dla \(\displaystyle{ n+2}\):
\(\displaystyle{ a_{n+2}=\left( n+2\right)a_{n+1}+\left( -1\right)^{n+2}}\)
I dodajmy do tej równości wyjściową rekurencję pomnożoną przez \(\displaystyle{ \left( n+2\right)}\). Mamy:
\(\displaystyle{ a_{n+2}+\left( n+2\right)a_{n+1}= \left( n+2\right)a_{n+1}+\left( -1\right)^{n+2}+\left( n+2\right) \left( n+1\right)a_{n}+\left( n+1\right)\left( -1\right)^{n+1}+\left( -1\right) ^{n+1} \\
a_{n+2}=\left( n+2\right)\left( n+1\right)a_{n}+\left( n+1\right)\left( -1\right)^{n+1} \\
a_{n+2}=\left( n+1\right)\left( \left(n+2 \right)a_{n}+\left( -1\right)^{n+1} \right)}\)
Przy czym to działa dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\). Chyba już łatwo to dokończyć.
\(\displaystyle{ a_{n+2}=\left( n+2\right)a_{n+1}+\left( -1\right)^{n+2}}\)
I dodajmy do tej równości wyjściową rekurencję pomnożoną przez \(\displaystyle{ \left( n+2\right)}\). Mamy:
\(\displaystyle{ a_{n+2}+\left( n+2\right)a_{n+1}= \left( n+2\right)a_{n+1}+\left( -1\right)^{n+2}+\left( n+2\right) \left( n+1\right)a_{n}+\left( n+1\right)\left( -1\right)^{n+1}+\left( -1\right) ^{n+1} \\
a_{n+2}=\left( n+2\right)\left( n+1\right)a_{n}+\left( n+1\right)\left( -1\right)^{n+1} \\
a_{n+2}=\left( n+1\right)\left( \left(n+2 \right)a_{n}+\left( -1\right)^{n+1} \right)}\)
Przy czym to działa dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\). Chyba już łatwo to dokończyć.