Wzór sumy potęg w liczbach całkowitych

[virtue]

Czy istnieje wzór określający minimalną ilość dodanych wyrażeń w zależności od potęgi \(\displaystyle{ n}\)

\(\displaystyle{ x^{n} =z ^{n}+q^{n} + \ldots +y ^{n}}\) dla \(\displaystyle{ x,q,...,y}\) i \(\displaystyle{ n}\) naturalnych?

[kropka+]

A co to jest ilość sumy wyrażeń?

[Ponewor]

Jeśli chodzi o najmniejszy parametr \(\displaystyle{ k}\) przy danym \(\displaystyle{ n}\) dla którego równanie diofantyczne:
\(\displaystyle{ a_{0}^{n}= \sum_{i=1}^{k}a_{i}^{n}}\)
ma nietrywialne rozwiązania, to obawiam się, że współczesna nam matematyka nie zna odpowiedzi na to pytanie. Niewiele chyba nawet wiadomo o przypadku gdy \(\displaystyle{ n=3}\), choć tu wiemy, że odpowiedzią jest \(\displaystyle{ 3}\)

[kropka+]

Dla \(\displaystyle{ x=1}\) niezależnie od potęgi będzie jeden składnik. \(\displaystyle{ 1 ^{n}=1 ^{n}}\), więc minimalna ilość dodanych elementów to \(\displaystyle{ 1}\).

[Ponewor]

\(\displaystyle{ x}\) nie musi być nawet równe \(\displaystyle{ 1}\). Nie ma nic odkrywczego w stwierdzeniu \(\displaystyle{ x^{n}=x^{n}}\). Oczywistym jest, że interesuje nas \(\displaystyle{ k \ge 2}\) przy czym z WTF wiemy, że dla \(\displaystyle{ n\ge 3}\) zachodzi \(\displaystyle{ k\ge 3}\).

[kropka+]

Oczywistym jest, że interesuje nas \(\displaystyle{ k \ge 2}\) .

Raczej \(\displaystyle{ x \ge 2}\).

[Ponewor]

Nie. Dobrze napisałem. W podanym przez Ciebie przykładzie jest \(\displaystyle{ x=1}\) i \(\displaystyle{ k=1}\). Ja zwróciłem uwagę na to, że przy \(\displaystyle{ k=1}\) pasuje dowolny \(\displaystyle{ x}\).

[kropka+]

Mnie się wydaje, że autorowi chodzi nie o to, że np. \(\displaystyle{ 3 ^{2}=3 ^{n}}\) tylko o to \(\displaystyle{ 3 ^{2}=1 ^{2}+2 ^{2}+2 ^{2}}\). Dlatego napisałam o iksie.

[Ponewor]

A mi chodzi o to, że w tej wypowiedzi nie ma powodu by pisać akurat o jedynce, bo każda inna liczba jest równie dobra.

Dla \(\displaystyle{ x=1}\) niezależnie od potęgi będzie jeden składnik. \(\displaystyle{ 1 ^{n}=1 ^{n}}\)

[virtue]

kropka+, oczywiście nie chodziło mi o przypadek z \(\displaystyle{ x=1}\) i \(\displaystyle{ k=1}\) nie pisałem tego bo wydawało się to oczywiste.


Ponewor, Tak myślałem, że nie odp na to pytanie bo jeszcze Twierdzenie Fermata nie zostało nawet udowodnione w sposób algebraiczny, co myślisz o takiej hipotezie że dla każdego \(\displaystyle{ n+1}\) k będzie większe bądź równe od k dla n

[Pilur7]

Co sądzicie na takie podejście do sprawy Fermata:
Funkcja górnej granicy całkowania jako funkcja n-tych potęg liczb parzystych i nieparzystych, a funkcja podcałkowa to suma przyrostów tych potęg: