Podzielność liczb - zadania

[squared]

Mam takie zadania, proste moim zdaniem, ale jakoś ugryźć ich nie mogę.

\(\displaystyle{ 1)}\) Dla jakich wartości liczby \(\displaystyle{ n \in \NN}\) liczba \(\displaystyle{ a}\) jest podzielna przez liczbę \(\displaystyle{ b}\)?

Przykład: \(\displaystyle{ a = 4n + 7 \ \ \ b =2n+1}\)
Po rozmyślaniach doszedłem, że \(\displaystyle{ b}\) dzieli \(\displaystyle{ a}\) wtedy, gdy \(\displaystyle{ NWD(a;b)=b}\).
Więc stąd: \(\displaystyle{ NWD(4n+7;2n+1)=NWD(5;2n+1)= \begin{cases} 5 \ \ \textrm{dla} \ 2n+1=5k \ \ k\in \NN \\ 1 \ \ \textrm{dla pozostałych} \end{cases}}\)

No i teraz powinienem \(\displaystyle{ 5}\) i \(\displaystyle{ 1}\) przyrównać do \(\displaystyle{ 2n + 1}\). Wydaje mi się to głupie, ponieważ wyjdą wtedy dwa rozwiązania tylko. Nie powinno ich być więcej np. nieskończenie wiele?

Czy w każdym innym przypadku tego typu mam postąpić tak samo np. dla \(\displaystyle{ a=n^3 \ \ \ b=n+1}\)?

\(\displaystyle{ 2)}\) Czy istnieją taki liczby naturalne \(\displaystyle{ a,b}\), że \(\displaystyle{ NWD(a;b)=x}\) oraz \(\displaystyle{ NWW(a;b)=y}\)?
np. \(\displaystyle{ x=5, y=105}\).

Czy nie wystarczy sprawdzić czy \(\displaystyle{ x\mid y}\)?

\(\displaystyle{ 3)}\) Niech \(\displaystyle{ p,q,r \in \PP \wedge p \neq q \neq r}\) oraz \(\displaystyle{ n \in \NN_{0}}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ NWD(a;b)}\) lub \(\displaystyle{ NWD(a;b;c)}\) jeśli...

np. \(\displaystyle{ a=p^n,b = p}\).
Pomyślałem, że \(\displaystyle{ p \mid p^n \Rightarrow NWD(p^n;p)=p}\)
Czy w różnych tego typu przypadkach tak samo mam się zastanawiać, co dzieli co, czy jakaś inna metoda na to jest? Z gór dziękuję za pomoc

np. \(\displaystyle{ a=p^nq^{n+1}r^{n+2},b=p^{n+2}q^nr^{n+1},c=p^{n+1}q^{n+2}r^{n}}\)

Oczywiście wiem, że \(\displaystyle{ NWD(a;b;c)=NWD(NWD(a;b);c)}\). Ale może prócz dzielenia przez siebie liczb da się to inaczej wymyślić tu?

[AloneAngel]

\(\displaystyle{ a = 4n + 7 \\ b =2n+1\\
\\
\frac{a}{b} = \frac{4n+7}{2n+1} = \frac{2(2n+1)+5}{2n+1} = 2 + \frac{5}{2n+1}}\)

Wychdzi na to, że \(\displaystyle{ 2n+1}\) musi być dzielnikiem liczby 5. Wystarczy to wyrażenie przyrównać do dzielników 5.

[squared]

No to wychodzi koledze, dokładnie to samo, co ja zaproponowałem, by \(\displaystyle{ 2n + 1}\) przyrównać do \(\displaystyle{ 5}\) i \(\displaystyle{ 1}\). Czy z drugim przykładem tego typu zadania mam podobnie postąpić?

[AloneAngel]

\(\displaystyle{ \frac{n^{3}}{n+1} = \frac{n^{3}+1-1}{n+1}=\frac{n^{3}+1^{3} - 1}{n+1}}\) Korzystamy teraz ze wzoru \(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}= (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}\)

\(\displaystyle{ \frac{n^{3}+1^{3} - 1}{n+1} = \frac{(n+1)(n^{2}-n+1)-1}{n+1} = n^{2}-n+1 - \frac{1}{n+1}}\)

[squared]

Czyli dla \(\displaystyle{ n=0}\) jest taka odpowiedź.

A przykład: \(\displaystyle{ a=n^2 + 3n - 2 \ \ b = n+2}\)

Zrobiłem tak, że \(\displaystyle{ \frac{n^2 + 3n - 2}{n+2} = n+1 + \frac{-4}{n+2}}\).
Stąd \(\displaystyle{ n = 1 \vee n = 0 \vee n=2}\), tak?

Dziękuję za pomoc przy tym zadaniu, a jakieś rady dla zadania 2 i 3 ktoś z Was ma?

[Ponewor]

Do zadania drugiego,
Podałeś warunek konieczny, ale niewystarczający. Zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ a = \text{nwd} \left(a, \ b\right) \cdot a_{1}}\) i \(\displaystyle{ b= \text{nwd} \left(a, \ b\right) \cdot b_{1}}\), to \(\displaystyle{ \left(a_{1}, \ b_{1}\right)=1}\). Co można powiedzieć, o \(\displaystyle{ \text{nww} \left(a, \ b\right)}\)?

Do zadania trzeciego:
\(\displaystyle{ a= \prod_{i=1}^{m}p_{i}^{\alpha_{i}} \wedge b= \prod_{i=1}^{m}p_{i}^{\beta_{i}} \Rightarrow \mbox{NWD} \left(a, \ b\right)= \prod_{i=1}^{m} p_{i}^{\mbox{min}\left(\alpha_{i}, \ \beta_{i} \right)}}\)

[squared]

Do zadania drugiego,
Podałeś warunek konieczny, ale niewystarczający. Zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ a = \text{nwd} \left(a, \ b\right) \cdot a_{1}}\) i \(\displaystyle{ b= \text{nwd} \left(a, \ b\right) \cdot b_{1}}\), to \(\displaystyle{ \left(a_{1}, \ b_{1}\right)=1}\). Co można powiedzieć, o \(\displaystyle{ \text{nww} \left(a, \ b\right)}\)?

Ogólnie jest tak, że \(\displaystyle{ \text{NWW(a;b)} \cdot \text{NWD(a;b)}=ab}\) i stąd mogę wyznaczyć najmniejszą wspólną wielokrotność, ale myślę, że nie o to Tobie chodziło.

Dziękuję za podpowiedź do zadania trzeciego, teraz wszystko jest już jasne w nim dla mnie.

[Ponewor]

W zasadzie jeśli do \(\displaystyle{ \text{NWW(a;b)} \cdot \text{NWD(a;b)}=ab}\), wstawisz to co napisałem, o \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), to otrzymasz to o co mi chodziło.

[squared]

\(\displaystyle{ \text{NWW(a;b)} \cdot \text{NWD(a;b)}=ab \\
\text{NWW(a;b)}= \text{NWD(a;b)} \cdot a_{1}b_{1}}\)

Czyli powinienem sprawdzić, czy da się zapisać NWW jako iloczyn NWD i dowolnych dwóhc liczb względnie pierwszych?

[Ponewor]

tak, właśnie o to chodzi