Znajdź n dla których wyrażenie jest podzielne przez 8.

[obverkid00]

Zadanie:
Znajdź wszystkie n dla których wyrażenie:
\(\displaystyle{ 2^{n} + 2 \cdot 3^{n}}\)
jest podzielne przez 8.

Próba rozwiązania:
1. Najpierw sprawdziłem parę kolejnych n [1-10], wyrażenie podzielne było jedynie dla n=1;
2. Sprawdziłem zasadę podzielności przez 8 ale nie wydaje się ona tutaj pomocna.
3. Stwierdziłem, że spróboję wyciągnać z wyrażenia 8 przed nawias, a potem będę musiał dowieść, że wyrażenie w nawiasie jest liczbą całkowitą (i stąd dostanę moje szukane n-y)

No więc, wziąłem się do roboty i szybko się okazało, że łatwiej powiedzieć niż zrobić.
Próbowałem na kilka sposobów, od najzwyklejszego wyciągnięcia \(\displaystyle{ 2^{3}}\) przed nawias - co dało mi:
\(\displaystyle{ 2^{3} \left( 2^{n-3}+\frac{3^{n}}{4} \right)}\)

Ale nie wiem jak sprawdzić czy wyrażenie w nawiasie jest l. całkowitą.

Drugim podejściem była próba zmiany zapisu i zastosowania dwumianu newtona w nadziei, że coś się uprości albo będzie się dało coś wyciągnąć. Wypróbowałem 3 zapisy:
1. Zapisuję wyrażenie jako \(\displaystyle{ \left( 3-1 \right) ^{n}+ \left( 3-1 \right) \cdot 3^{n}}\)
2. Zapisuję wyrażenie jako \(\displaystyle{ 2^{n}+2 \cdot \left( 2+1 \right) ^{n}}\)
3. Zapisuję wyrażenie jako \(\displaystyle{ 2^{n}+2 \cdot \left( 2^{2}-1 \right) ^{n}}\)

Mam wrażenie, że to był ruch w dobrym kierunku jednak mimo wszystko do niczego mnie nie doprowadził. Jakieś pomysły?

[Ania221]

Spróbuj to zapisać jako \(\displaystyle{ 2^{n} + 2 \cdot 3^{n}=8k}\)
Podziel obustronnie przez \(\displaystyle{ 2}\)
Popatrz, jakie są ostatnie cyfry \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\) i \(\displaystyle{ 3^n}\) i jaka jest ich suma

[obverkid00]

Suma ich ostatnich cyfr dla n>1 zawsze będzie równa 9 lub 11.
Zatem dla każdego n>1 ostatnią cyfrą wyrażenia \(\displaystyle{ 2^{n-1}+3^{n}}\) będzie 1 lub 9, więc liczba ta nie będzie podzielna przez 4. Aby liczba była podzielna przez 8, musi być podzielna przez 2 i przez 4. Nasze oryginalne wyrażenie jest podzielne przez 8 tylko dla n=1 ponieważ nie spełnia tego warunku dla n>1.

Czy to dobrze zapisany wniosek?

------
Edit:
Dziękuję za odpowiedzi i pomoc

[Ania221]

Myslę, że dobrze.

[gryxon]

Można też to zrobić bez wgłębiania się w cyfry.
niech:
\(\displaystyle{ 2^{n} + 2 \cdot 3^{n} = 8k}\)
dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\)

\(\displaystyle{ 8|2^n \Rightarrow 8|3^n \cdot 2}\)
jednak widzimy że \(\displaystyle{ 3^n\cdot 2}\) przez \(\displaystyle{ 8}\) podzielne nie jest. ;p
Tak więc sprawdzamy dla \(\displaystyle{ n<3}\).