liczba niewymierna
-
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 20 gru 2013, o 18:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 41 razy
liczba niewymierna
Wykazać, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{11}}\) jest niewymierna.
- waliant
- Użytkownik
- Posty: 1801
- Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 275 razy
- Pomógł: 183 razy
liczba niewymierna
Pokaż, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest niewymierny i skorzystaj z tego, że suma liczby niewymiernej i dowolnej liczby jest niewymierna (jeśli nie są to liczby przeciwne).
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
liczba niewymierna
Nie jest to prawda, np. \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), \(\displaystyle{ 3-\sqrt{2}}\).Suma liczby niewymiernej i dowolnej liczby jest niewymierna (jeśli nie są to liczby przeciwne).
-
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 20 gru 2013, o 18:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 41 razy
liczba niewymierna
Próbowałem nie wprost to pokazać, a także znaleźć odpowiedni wielomian o współczynnikach całkowitych, ale nie udało mi się doprowadzić tego do końca.
- musialmi
- Użytkownik
- Posty: 3466
- Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PWr ocław
- Podziękował: 382 razy
- Pomógł: 434 razy
liczba niewymierna
Nie rozumiem. Wg ciebie ta różnica jest wymierna?JakimPL pisze:Nie jest to prawda, np. \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), \(\displaystyle{ 3-\sqrt{2}}\).Suma liczby niewymiernej i dowolnej liczby jest niewymierna (jeśli nie są to liczby przeciwne).
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
liczba niewymierna
Suma.Wg ciebie ta różnica jest wymierna?
Byłoby ciężko, to wielomian \(\displaystyle{ 32}\) stopnia, chociaż wówczas z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych teza jest natychmiastowa.metalknight pisze:Próbowałem nie wprost to pokazać, a także znaleźć odpowiedni wielomian o współczynnikach całkowitych, ale nie udało mi się doprowadzić tego do końca.
W razie braku pomysłów, można się pobawić:
\(\displaystyle{ \frac{p}{q}=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{11}}\)
\(\displaystyle{ \left(\frac{p}{q}-\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{7}-\sqrt{11}\right)^2=2}\)
\(\displaystyle{ \frac{p^2}{q^2}-\frac{2 \sqrt{11} p}{q}-\frac{2 \sqrt{7} p}{q}-\frac{2 \sqrt{5} p}{q}-\frac{2 \sqrt{3} p}{q}+2 \sqrt{77}+2 \sqrt{55}+2 \sqrt{35}+2 \sqrt{33}+2 \sqrt{21}+2 \sqrt{15}+26=2}\)
I tak dalej, wyłączać odpowiednie pierwiastki, przerzucać, potęgować; coś tam z pomocą komputera się wyliczy w końcu .
-
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 20 gru 2013, o 18:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 41 razy
liczba niewymierna
A skąd wiadomo, że się wyliczy? Podniosłeś do kwadratu i liczba niewymiernych pierwiastków kwadratowych z pięciu w wyrażeniu \(\displaystyle{ \frac{p}{q}=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{11}}\) zwiększyła ci się do dziesięciu w wyrażeniu \(\displaystyle{ \frac{p^2}{q^2}-\frac{2 \sqrt{11} p}{q}-\frac{2 \sqrt{7} p}{q}-\frac{2 \sqrt{5} p}{q}-\frac{2 \sqrt{3} p}{q}+2 \sqrt{77}+2 \sqrt{55}+2 \sqrt{35}+2 \sqrt{33}+2 \sqrt{21}+2 \sqrt{15}+26=2}\).
Teraz jak podniesiesz do kwadratu to ostatnie wyrażenie, to znowu ci się zwiększy ilość pierwiastków niewymiernych. Zmierzam do tego w jaki sposób kolejne potęgowania przybliżają do wykazania tezy? Bo ja tu widzę coś zupełnie odwrotnego.
Teraz jak podniesiesz do kwadratu to ostatnie wyrażenie, to znowu ci się zwiększy ilość pierwiastków niewymiernych. Zmierzam do tego w jaki sposób kolejne potęgowania przybliżają do wykazania tezy? Bo ja tu widzę coś zupełnie odwrotnego.
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
liczba niewymierna
W ośmiu krokach powinno dojść się do wielomianu minimalnego o współczynnikach całkowitych.
A niech to:
\(\displaystyle{ x-\sqrt{11}-\sqrt{7}-\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{2}=0}\)
\(\displaystyle{ \left(x-\sqrt{11}-\sqrt{7}-\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2=2}\)
\(\displaystyle{ x^2-2 \sqrt{11} x-2 \sqrt{7} x-2 \sqrt{5} x-2 \sqrt{3} x+2 \sqrt{77}+2 \sqrt{55}+2 \sqrt{35}+2 \sqrt{33}+2 \sqrt{21}+2 \sqrt{15}+24=0}\)
\(\displaystyle{ x^2-2 \sqrt{11} x-2 \sqrt{7} x-2 \sqrt{5} x+2 \sqrt{77}+2 \sqrt{55}+2 \sqrt{35}+24=2 \sqrt{3} \left(x-\sqrt{11}-\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}\)
\(\displaystyle{ x^4-4 \sqrt{11} x^3-4 \sqrt{7} x^3-4 \sqrt{5} x^3+12 \sqrt{77} x^2+12 \sqrt{55} x^2+12 \sqrt{35} x^2+128 x^2-24 \sqrt{385} x-168 \sqrt{11} x-200 \sqrt{7} x-216 \sqrt{5} x+112 \sqrt{77}+128 \sqrt{55}+160 \sqrt{35}+968=0}\)
\(\displaystyle{ x^4-4 \sqrt{11} x^3-4 \sqrt{5} x^3+12 \sqrt{55} x^2+128 x^2-168 \sqrt{11} x-216 \sqrt{5} x+128 \sqrt{55}+968=4 \sqrt{7} \left(x^3-3 \sqrt{11} x^2-3 \sqrt{5} x^2+6 \sqrt{55} x+50 x-28
\sqrt{11}-40 \sqrt{5}\right)}\)
\(\displaystyle{ x^8-8 \sqrt{11} x^7-8 \sqrt{5} x^7+56 \sqrt{55} x^6+400 x^6-1168 \sqrt{11} x^5-1840 \sqrt{5} x^5+3040 \sqrt{55} x^4+22336 x^4-21760 \sqrt{11} x^3-31744 \sqrt{5} x^3+15680 \sqrt{55} x^2+117376 x^2-19328 \sqrt{11} x-29312 \sqrt{5} x-3072 \sqrt{55}-23744=0}\)
Jeszcze dwie operacje przenoszenia i potęgowania, a nie będzie w ogóle pierwiastków. Otrzymujemy na końcu
\(\displaystyle{ x^{32}-448 x^{30}+84864 x^{28}-9028096 x^{26}+602397952 x^{24}-26625650688
x^{22}+801918722048 x^{20}-16665641517056 x^{18}+239210760462336
x^{16}-2349014746136576 x^{14}+15459151516270592
x^{12}-65892492886671360 x^{10}+172580952324702208
x^8-255690851718529024 x^6+183876928237731840 x^4-44660812492570624
x^2+2000989041197056}\)
którego pierwiastkiami są sumy \(\displaystyle{ (-1)^{j_1}\sqrt{2}+(-1)^{j_2}\sqrt{3}+(-1)^{j_3}\sqrt{5}+(-1)^{j_4}\sqrt{7}+(-1)^{j_5}\sqrt{11}}\) dla \(\displaystyle{ (j_k)_{k=1}^{5}\in\{0,1\}^5}\).
A niech to:
\(\displaystyle{ x-\sqrt{11}-\sqrt{7}-\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{2}=0}\)
\(\displaystyle{ \left(x-\sqrt{11}-\sqrt{7}-\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2=2}\)
\(\displaystyle{ x^2-2 \sqrt{11} x-2 \sqrt{7} x-2 \sqrt{5} x-2 \sqrt{3} x+2 \sqrt{77}+2 \sqrt{55}+2 \sqrt{35}+2 \sqrt{33}+2 \sqrt{21}+2 \sqrt{15}+24=0}\)
\(\displaystyle{ x^2-2 \sqrt{11} x-2 \sqrt{7} x-2 \sqrt{5} x+2 \sqrt{77}+2 \sqrt{55}+2 \sqrt{35}+24=2 \sqrt{3} \left(x-\sqrt{11}-\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}\)
\(\displaystyle{ x^4-4 \sqrt{11} x^3-4 \sqrt{7} x^3-4 \sqrt{5} x^3+12 \sqrt{77} x^2+12 \sqrt{55} x^2+12 \sqrt{35} x^2+128 x^2-24 \sqrt{385} x-168 \sqrt{11} x-200 \sqrt{7} x-216 \sqrt{5} x+112 \sqrt{77}+128 \sqrt{55}+160 \sqrt{35}+968=0}\)
\(\displaystyle{ x^4-4 \sqrt{11} x^3-4 \sqrt{5} x^3+12 \sqrt{55} x^2+128 x^2-168 \sqrt{11} x-216 \sqrt{5} x+128 \sqrt{55}+968=4 \sqrt{7} \left(x^3-3 \sqrt{11} x^2-3 \sqrt{5} x^2+6 \sqrt{55} x+50 x-28
\sqrt{11}-40 \sqrt{5}\right)}\)
\(\displaystyle{ x^8-8 \sqrt{11} x^7-8 \sqrt{5} x^7+56 \sqrt{55} x^6+400 x^6-1168 \sqrt{11} x^5-1840 \sqrt{5} x^5+3040 \sqrt{55} x^4+22336 x^4-21760 \sqrt{11} x^3-31744 \sqrt{5} x^3+15680 \sqrt{55} x^2+117376 x^2-19328 \sqrt{11} x-29312 \sqrt{5} x-3072 \sqrt{55}-23744=0}\)
Jeszcze dwie operacje przenoszenia i potęgowania, a nie będzie w ogóle pierwiastków. Otrzymujemy na końcu
\(\displaystyle{ x^{32}-448 x^{30}+84864 x^{28}-9028096 x^{26}+602397952 x^{24}-26625650688
x^{22}+801918722048 x^{20}-16665641517056 x^{18}+239210760462336
x^{16}-2349014746136576 x^{14}+15459151516270592
x^{12}-65892492886671360 x^{10}+172580952324702208
x^8-255690851718529024 x^6+183876928237731840 x^4-44660812492570624
x^2+2000989041197056}\)
którego pierwiastkiami są sumy \(\displaystyle{ (-1)^{j_1}\sqrt{2}+(-1)^{j_2}\sqrt{3}+(-1)^{j_3}\sqrt{5}+(-1)^{j_4}\sqrt{7}+(-1)^{j_5}\sqrt{11}}\) dla \(\displaystyle{ (j_k)_{k=1}^{5}\in\{0,1\}^5}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 20 gru 2013, o 18:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 41 razy
liczba niewymierna
Nie wiem czy dobrze rozumiem. Z tym przenoszeniem i podnoszeniem do kwadratu chodzi o to aby w kolejnych krokach wyrugować \(\displaystyle{ 11,7,5,3,2}\) spod pierwiastka dlatego wyłącza się przed nawias odpowiednie wielokrotności \(\displaystyle{ \sqrt{a}}\) z prawej strony?
Na koniec zostaje mi \(\displaystyle{ 450}\) dzielników \(\displaystyle{ 2000989041197056}\) do sprawdzenia czy są pierwiastkami, tak?
Na koniec zostaje mi \(\displaystyle{ 450}\) dzielników \(\displaystyle{ 2000989041197056}\) do sprawdzenia czy są pierwiastkami, tak?
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
liczba niewymierna
Tak, o to chodzi. Wielomian mimo swojej paskudnej formy ma parę własności (parzystość), które z miejsca eliminują niektóre dzielniki. Formalnie tak, trzeba sprawdzić każdy z możliwych.
Jeżeli nie zapomnę, wrócę tu z nieco sprytniejszym pomysłem, ten powyższy jest "dla komputera". Skąd jest to zadanie?
Jeżeli nie zapomnę, wrócę tu z nieco sprytniejszym pomysłem, ten powyższy jest "dla komputera". Skąd jest to zadanie?
-
- Użytkownik
- Posty: 342
- Rejestracja: 31 maja 2008, o 19:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 28 razy
liczba niewymierna
Niech \(\displaystyle{ (p_{n}) = (2,3,...)}\), \(\displaystyle{ q_{n} = \sqrt{p_{n}}}\).
Można indukcyjnie pokazać, że suma liczby wymiernej i iloczynów różnych liczb postaci \(\displaystyle{ q_{k}}\), przy ograniczomym \(\displaystyle{ k}\), jest niezerowa (o ile, po pogrupowaniu względem tych iloczynów pierwiastków, zostanie przy jakimś niezerowy współczynnik).
Dowód kroku jest bardzo prosty: Gdyby teza nie działała dla \(\displaystyle{ k}\) ograniczonego przez \(\displaystyle{ n+1}\), to możemy przerzucić wszystkie składniki-iloczyny zawierające \(\displaystyle{ q_{n+1}}\) na jedną stronę i podnieść do kwadratu, dostając sprzeczność z założeniem indukcyjnym.
-- 24 lutego 2014, 21:51 --
Dobra, widzę teraz, że to nie jest oczywiste, że podniesienie do kwadratu nie zredukuje współczynników wymiernych do zera. Może da się to naprawić?
Można indukcyjnie pokazać, że suma liczby wymiernej i iloczynów różnych liczb postaci \(\displaystyle{ q_{k}}\), przy ograniczomym \(\displaystyle{ k}\), jest niezerowa (o ile, po pogrupowaniu względem tych iloczynów pierwiastków, zostanie przy jakimś niezerowy współczynnik).
Dowód kroku jest bardzo prosty: Gdyby teza nie działała dla \(\displaystyle{ k}\) ograniczonego przez \(\displaystyle{ n+1}\), to możemy przerzucić wszystkie składniki-iloczyny zawierające \(\displaystyle{ q_{n+1}}\) na jedną stronę i podnieść do kwadratu, dostając sprzeczność z założeniem indukcyjnym.
-- 24 lutego 2014, 21:51 --
Dobra, widzę teraz, że to nie jest oczywiste, że podniesienie do kwadratu nie zredukuje współczynników wymiernych do zera. Może da się to naprawić?
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
liczba niewymierna
Oczywiście, że nie. Już wspomniana parzystość odbębnia Ci połowę roboty. Po drugie warto zauważyć, że interesują nas te dzielniki, które są podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\) - bo wszystkie współczynniki wielomianu, poza współczynnikiem przy \(\displaystyle{ x^{32}}\) są parzyste. Po trzecie i najważniejsze, mamy:metalknight pisze:Na koniec zostaje mi \(\displaystyle{ 450}\) dzielników \(\displaystyle{ 2000989041197056}\) do sprawdzenia czy są pierwiastkami, tak?
\(\displaystyle{ 9<1+1+2+2+3 <\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{11} <2+2+3+3+4=14}\)
Zatem jeśli badana liczba jest wymiernym pierwiastkiem tego wielomianu, to jest podzielnym przez \(\displaystyle{ 4}\) dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ 2000989041197056}\) z przedziału \(\displaystyle{ \left( 9, \ 14\right)}\). Jedynym sensownym kandydatem jest więc \(\displaystyle{ 12}\), ale tak się składa, że \(\displaystyle{ 3}\) nie dzieli tej liczby, więc tym bardziej nie czyni tego \(\displaystyle{ 12}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
liczba niewymierna
Kminiąc jakieś zadanie, potrzebny mi był nieco ogólniejszy fakt i sądzę, że warto odświeżyć ten wątek, bo jest on jednocześnie rozwiązaniem tego problemu.
Zadanie: niech \(\displaystyle{ x_1, x_2, \ldots, x_n \in \mathbb{Q}}\) oraz niech \(\displaystyle{ \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} + \ldots + \sqrt{x_n} \in \mathbb{Q}.}\) Wówczas wszystkie liczby \(\displaystyle{ \sqrt{x_i}}\) są wymierne.
Zadanie: niech \(\displaystyle{ x_1, x_2, \ldots, x_n \in \mathbb{Q}}\) oraz niech \(\displaystyle{ \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} + \ldots + \sqrt{x_n} \in \mathbb{Q}.}\) Wówczas wszystkie liczby \(\displaystyle{ \sqrt{x_i}}\) są wymierne.
Solv: