Rozdzielność działań NWD i NWW

[divii]

Jak udowodnić rozdzielność działań NWD i NWW, tzn że zachodzą takie dwie własności:

\(\displaystyle{ \forall a,b,c N\backslash\{0\}\\
1) \ NWD(a,NWW(b,c))=NWW(NWD(a,b),NWD(a,c))\\
2) \ NWW(a,NWD(b,c))=NWD(NWW(a,b),NWW(a,c))}\)

[mol_ksiazkowy]

divii napisał:

Jak udowodnić rozdzielność działań NWD i NWW, tzn że zachodzą takie dwie własności:

\(\displaystyle{ \forall a,b,c N\backslash\{0\}\\
1) \ NWD(a,NWW(b,c))=NWW(NWD(a,b),NWD(a,c))\\
2) \ NWW(a,NWD(b,c))=NWD(NWW(a,b),NWW(a,c))}\)

dowod leci w oparciu o dwa lematy. tj.
ab= NWD(a,b)NWW(a,b)
i...
a NWW(b,c)=NWW(ab, ac)

[divii]

Czyli co trzeba zrobić? Ja tu nie widzę związku pomiędzy moimi działaniami a własnościami, które podałeś. W jaki sposób to trzeba tu wykorzystać?

[mol_ksiazkowy]

oj znalazlem w ksiazce dowod ale jest strasznie długasny....wiec ciezko mi
go w tej chwili spisac moze ktos zna krotszy...sam zem ciekaw..?!

[Lorek]

A jakby tak skorzystać z tego, że dla
\(\displaystyle{ \large a=2^{a_2}\cdot 3^{a_3}\cdot 5^{a_4}\cdots p^{a_p}\\b=2^{b_2}\cdot 3^{b_3}\cdot 5^{b_4}\cdots p^{b_p}}\)
mamy
\(\displaystyle{ \large NWD(a,b)=2^{\min (a_2,b_2)}\cdot 3^{\min (a_3,b_3)}\cdots p^{\min (a_p,b_p)}\\NWW(a,b)=2^{\max (a_2,b_2)}\cdot 3^{\max (a_3,b_3)}\cdots p^{\max (a_p,b_p)}}\),
to wystarczy udowodnić, że dla \(\displaystyle{ k,\:m,\:n,\: \mathbb{N}}\)
zachodzi
\(\displaystyle{ \min (k;\max (m;n))=\max (\min (k;m);\min (k;n))\\\max (k;\min (m;n))=\min (\max (k;m);\max (k;n))}\)