Problem, który rozwiązałem to:
Pokaż że dla dowolnego:
\(\displaystyle{ n = a_{1} + a_{2} + ... + a_{k}}\)
zachodzi:
\(\displaystyle{ a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{k} \le 3^{\frac{n}{3}}}\)
Uproszczona wersja, zakłada że wszystkie \(\displaystyle{ a_{i} \in \mathbb{Z}}\). Zatem w tej wersji założyłem, że każdą liczbę >= 2 można przedstawić w postaci:
\(\displaystyle{ n = 3m}\) lub \(\displaystyle{ n = 3m + 2}\) lub \(\displaystyle{ n = 3m + 2 + 2}\)
oraz pokazałem, że iloczyn takiego rozkładu (tzn. iloczyn samych trójek i ewentualnie jedna lub dwie dwójki) jest większy od dowolnego innego rozbicia (na liczby całkowite) tej sumy. Skoro jest to największy iloczyn o tej sumy, to pokazując, że zachodzi dla niego, pokażę też dla reszty. Samo pokazanie nierówności jest banalne, więc pominę.
Co mnie interesuje w tej chwili, to fakt, że sprawdzając komputerowo, że najlepszym rozbiciem liczby rzeczywistej na sumę jakiejś ilości składników, tak by ich iloczyn był największy jest rozbicie jej na sumę podstaw logarytmu naturalnego. Jeśli w suma to \(\displaystyle{ k}\) takich składników, to podstawa logarytmu naturalnego do tej potęgi da największy iloczyn (większy nawet od tej, gdyby rozłożyć na same 3 i ostatni wyraz dopełniający do sumę (rzeczywisty, naturalnie > 1, by iloczyn nie malał przez niego).
Czy może mi ktoś wytłumaczyć dlaczego takie rozbicie daje największy iloczyn? Tzn. dla dowolnego n:
\(\displaystyle{ n = a_{1} + a_{2} + ... + a_{k}}\) to \(\displaystyle{ M = a_{1} \cdot a{2} \cdot ... \cdot a_{k}}\) będzie największe, gdy \(\displaystyle{ k = \frac{n}{e}}\) oraz \(\displaystyle{ a_{i} = e}\) (lub jak najbliżej, jeśli nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ e}\))?
Przykład:
\(\displaystyle{ n = 19.028 = 7 \cdot e = 9.028 + 10 = 9 \cdot 2 + 1.028}\)
\(\displaystyle{ e^{7} = 1096.63}\)
\(\displaystyle{ 10 \cdot 9.028 = 90.28}\)
\(\displaystyle{ 2^9 \cdot 1.028 = 526.34}\)
Zatem widać, że im dalej dalej są te \(\displaystyle{ a_{i}}\) od \(\displaystyle{ e}\) tym mniejszy iloczyn ich później będzie. Widać również że schodząc niżej niż e otrzymamy niższy wynik. Ale dlaczego \(\displaystyle{ e}\) jest najlepsze?