najmniejsza lba naturalna spełniająca kongruencję

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
math1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 14 gru 2013, o 23:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

najmniejsza lba naturalna spełniająca kongruencję

Post autor: math1989 »

Witam serdecznie!

Bardzo prosiłabym o wskazówki do rozwiązania zadania:

Wyznacz najmniejszą liczbę \(\displaystyle{ n \in N_0}\), która spełnia kongruencję
\(\displaystyle{ 10! \equiv n (mod 11)}\)

Nie mam pomysłu jak zacząć , bo raczej nie chodzi o obliczenie 10! i drogą prób i błedów podstawiać kolejne liczby naturalne.
brzoskwinka1

najmniejsza lba naturalna spełniająca kongruencję

Post autor: brzoskwinka1 »

\(\displaystyle{ n=10}\)
math1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 14 gru 2013, o 23:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

najmniejsza lba naturalna spełniająca kongruencję

Post autor: math1989 »

No tak... Zgadza sie... Ale czy to oznacza że po prostu należy wyliczyć 10! (mod 11) w tym zadaniu? Nie ma jakiegoś sprytnego sposobu?
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

najmniejsza lba naturalna spełniająca kongruencję

Post autor: Zordon »

Twierdzenie Wilsona.
math1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 14 gru 2013, o 23:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

najmniejsza lba naturalna spełniająca kongruencję

Post autor: math1989 »

Czy w takim razie to wyjaśnienie jest poprawne?

\(\displaystyle{ 10! - n \equiv 0 (mod 11)}\)
Z twierdzenia Wilsona jeśli p jest liczbą pierwszą to liczba postaci \(\displaystyle{ (p-1)! +1}\) będzie podzielna przez p.
W naszym wypadku 11 jest liczbą pierwszą i najmniejszą liczbą naturalną n, która po podstawieniu da nam postać \(\displaystyle{ 10!+1}\) będzie liczba 10.
ODPOWIEDZ