Podzielność liczb przy zachowaniu potęg

[RippeR37]

1. Załóżmy, że:
\(\displaystyle{ x \nmid y^{2}}\)
Logiczne dla mnie jest również wtedy, że:
\(\displaystyle{ x \nmid y}\)
Zatem na tej mocy jeśli mamy coś takiego, że:
\(\displaystyle{ x^{k} \nmid y^{l} \Rightarrow x^{k} \nmid y^{q}}\) gdy \(\displaystyle{ q \le l}\)
Wydaje mi się to raczej oczywiste i jako dowód wystarczyło by chyba proste uzasadnienie, że jeśli w \(\displaystyle{ y^{l}}\) nie ma wystarczająco dużo odpowiednich czynników pierwszych by "skróciły" się z \(\displaystyle{ x^{k}}\) to nie ma ich także w mniejszej potędzę y-ka.

2. Inna sprawa, czy jeśli wiedząc, że:
\(\displaystyle{ a \nmid b}\)
możemy wywnioskować, że:
\(\displaystyle{ a^{k} \nmid b^{k}}\)
Tu również wydaje mi się logiczne i proste, jeśli pojedyńcze a nie dzieli b, to znaczy, że trzy a nie dzielą trzech b, bo żadne a nie potrafi podzielić minimum jednego b.

[niebieska_biedronka]

Tak, masz rację, choć da się to zapisać bardziej formalnie.
Poprowadźmy dowód niewprost - zakładamy, że \(\displaystyle{ x^k \nmid y^l}\) oraz \(\displaystyle{ x^k \mid y^q}\). Z tego drugiego wynika, że \(\displaystyle{ \exists t \in \mathbb{Z}: y^q = t \cdot x^k}\). A ponieważ \(\displaystyle{ q \le l}\), to możemy zapisać \(\displaystyle{ y^l= y^q \cdot y^{l-q} = t \cdot x^k \cdot y^{l-q}}\), ale to by oznaczało, że \(\displaystyle{ x^k \mid y^l}\). Sprzeczność kończy dowód.

[RippeR37]

No dokładnie o to mi chodziło Tylko po kilku godzinach z matematyką dyskretną (to akurat przypadkiem było mi potrzebne) można się nieźle zakręcić, a znajomy twierdził, że to może nie być prawda, więc wolałem się upewnić.