Równość kongrunecji

[Nitka_]

Hej, szukam pomocy w zadaniu:
Pokaż, że dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) spełniona jest kongruencja:

\(\displaystyle{ n^{5}\equiv n(mod 5)}\)

Pokaż też, że w ogólności nie jest prawdziwe to dla \(\displaystyle{ n^{6}\equiv n(mod 6)}\)


Do pierwszego:
mam sytuację taką, że:
\(\displaystyle{ n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n \equiv n(mod 5)}\).
Liczba pięć jest pierwsza, mogę mieć więc dwie możliwości:
1) \(\displaystyle{ NWD(n,5)\equiv1}\)
2) \(\displaystyle{ NWD(n,5)\equiv5}\)

W przypadku 2), gdy \(\displaystyle{ n}\) to wielokrotność piątki równość jest oczywista, bo każda potęga wielokrotności piątki będzie podzielna na pięć, czyli mam \(\displaystyle{ 0\equiv 0(mod 5)}\)


W przypadku 1), chciałam skorzystać z twierdzenia:
Z \(\displaystyle{ a \equiv b(mod m)}\) oraz \(\displaystyle{ aa'\equiv bb'(mod m)}\) wynika w przypadku gdy \(\displaystyle{ NWD(a,m)=1}\) również \(\displaystyle{ a' \equiv b'(mod m)}\).


Mogę więc zastosować je w taki sposób, że:
\(\displaystyle{ n \equiv n(mod 5)}\) (oczywiste) oraz \(\displaystyle{ n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n \equiv n \cdot 1(mod 5)}\),
czyli
\(\displaystyle{ n^{4} \equiv 1(mod 5)}\).


Czyli powinnam pokazać, że \(\displaystyle{ 5}\) dzieli \(\displaystyle{ n^{4}-1}\) (co jest prawdą, gdy \(\displaystyle{ n}\) to nie jest wielokrotność piątki), tylko jak to pokazać?

A może zupełnie inny sposób byłby lepsze na rozwiązanie tego zadania?

Co do drugiej części, to mam kontraprzykład:
\(\displaystyle{ 2^{6} \equiv 2(mod 6)}\), nieprawda.
(czy może też jakoś uzasadnić lepiej w tym podpunkcie?)


Dziękuję z góry za wskazówki.

[Premislav]

Co do pierwszej części można też tak: równoważnie \(\displaystyle{ 5}\) dzieli \(\displaystyle{ n ^{5}-n}\)(\(\displaystyle{ n ^{5}-n\equiv 0\pmod{5}}\)) ; \(\displaystyle{ n ^{5}-n=(n-1)n(n+1)(n ^{2}+1)}\). Gdy \(\displaystyle{ 5}\) dzieli którąkolwiek z liczb \(\displaystyle{ n}\),\(\displaystyle{ n-1}\), \(\displaystyle{ n+1}\) (może tylko jedną lololololol), to oczywiście teza zachodzi. Zbadaj, jakie mogą być reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 5}\) kwadratu liczby całkowitej, następnie przypuść, że żadna z liczb \(\displaystyle{ n}\), \(\displaystyle{ n-1}\), \(\displaystyle{ n+1}\) nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\). Wtedy \(\displaystyle{ n\equiv ?\pmod{5}}\). Wylicz \(\displaystyle{ ?}\) (dwie możliwości). Wtedy \(\displaystyle{ n ^{2}+1\equiv}\)... Alternatywnie można rozważyć tę równość w \(\displaystyle{ \mathbb{Z} _{5}}\) bez zera - grupie elementów odwracalnych w \(\displaystyle{ \mathbb{Z} _{5}}\) z mnożeniem modulo \(\displaystyle{ 5}\). Tam \(\displaystyle{ n ^{4}\equiv 1}\) (wykaż to bądź powołaj się na odpowiednie twierdzenie). A jeśli \(\displaystyle{ n \equiv 0\pmod{5}}\), czyli reszta z dzielenia \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ 5}\) nie należy do powyższej, to...
Co do drugiej części: naturalnie wystarczy podać kontrprzykład, jak już zrobiłaś.

[Nitka_]

Hej, dzięki.

Czyli tak:
reszty z dzielenia \(\displaystyle{ n^{2}-1}\) to \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 4}\).

Zakładam, że \(\displaystyle{ n-1, n, n+1}\) nie są podzielne na \(\displaystyle{ 5}\). Czyli wtedy (przykładowo liczby 11,12,13 lub 12,13,14) mam:
\(\displaystyle{ n \equiv 2(mod5)}\)
\(\displaystyle{ n \equiv 3(mod5)}\).

Mam więc \(\displaystyle{ n^{2}+1=5}\) lub \(\displaystyle{ n^{2}+1=10}\), czyli w \(\displaystyle{ mod5}\) są to zera.
No więc chyba wszystko jasne, choć... po co w takim razie w ogóle sprawdzałam, jakie mogą być reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 5}\) kwadratu liczby całkowitej? Rozumiem, że chodzi o to, by pokazać, że jakąkolwiek weźmiemy \(\displaystyle{ n}\), to \(\displaystyle{ n^{5}-n}\) będzie podzielne bez reszty na \(\displaystyle{ 5}\). Ale nie rozumiem (może muszę pomyśleć raz jeszcze), po co było to początkowe sprawdzanie reszt...

Dziękuję

[Premislav]

W istocie, sprawdzanie możliwych reszt było kompletnie zbędne, oczywiście musiałem niepotrzebnie namieszać.

[Ponewor]

\(\displaystyle{ n^{2}+1=\left( n-2\right)\left( n+2\right) +5}\)

[bakala12]

Można też skorzystać z Małego Twierdzenia Fermata.

[Nitka_]

I wszystko jasne, dziękuję