Udowodnij podzielność

[misia12345]

a) Udowodnij, że jeśli x jest liczbą całkowitą nieparzystą to \(\displaystyle{ 8/(x^2-1)}\)
b) Udowodnij, że jeśli x jest liczbą całkowitą niepodzielną przez 5 to \(\displaystyle{ 5/(x^4-1)}\)

[Pinionrzek]

W obu przypadkach rozłóż na iloczyny i pokombinuj z resztami kwadratów modulo 8 i 5.

[misia12345]

tak wiem rozkładałam i to wygląda tak

a) \(\displaystyle{ (x-1)(x+1)=0 (mod 8)}\)
b) \(\displaystyle{ (x^2-1)(x^2+1)=0 (mod 5)}\)

tylko co dalej ;/

[Premislav]

W pierwszym: skoro \(\displaystyle{ x}\) nieparzyste, to co powiesz o reszcie z dzielenia przez \(\displaystyle{ 2}\) liczb \(\displaystyle{ x-1}\), \(\displaystyle{ x+1}\)? A skoro już dojdziesz do właściwego wniosku, to zauważ, że dla \(\displaystyle{ k}\) parzystego mamy \(\displaystyle{ k\equiv 0 \pmod {4}}\)albo \(\displaystyle{ k\equiv 2\pmod {4}}\) (dlaczego?).
W drugim: jakie są możliwe reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 5}\) kwadratu liczby całkowitej? Gdy to ustalisz, to skorzystaj z założenia o niepodzielności \(\displaystyle{ x}\) przez \(\displaystyle{ 5}\).

[arek1357]

w drugim zawsze ostatnia cyfra podniesiona do czwartej da na końcu jeden lub sześć