Hej, proszę o sprawdzenie paru zadań testowych wielokrotnego wyboru. Tematy zahaczają o bijekcje i podstawy teorii liczb.
Zadanie pierwsze
Ze zbioru 10 elementowego w 7 elementowy mamy:
a) każde odwzorowanie jest surjekcją
b) żadne odwzrowanie nie jest surjekcją
c) są odwzorowania, które są surjekcjami i takie, które nie są
d) każde odwzorowanie jest iniekcją
e) żadne odwzrowanie nie jest iniekcją
f) są odwzorowania, które są iniekcjami i takie, które nie są
Moje odpowiedzi to c i e, a wątpliwość mam do c - mogę zdefiniować odwzrowanie, które nie jest surjekcją, bo mogę 'nie wykorzystać' wszystkich elementów ze zbioru Y. Nie wiem jednak czy w zadaniu nie zakłada się, że skoro odwzorowanie jest w zbiór 10-elementowy, to musimy użyć je wszystkie? Więc chyba bardziej a?
Zadanie drugie
Ze zbioru 7 elementowego w 10 elementowy mamy:
a) każde odwzorowanie jest surjekcją
b) żadne odwzrowanie nie jest surjekcją
c) są odwzorowania, które są surjekcjami i takie, które nie są
d) każde odwzorowanie jest iniekcją
e) żadne odwzrowanie nie jest iniekcją
f) są odwzorowania, które są iniekcjami i takie, które nie są
Odpowiedzi b i f. (wątpliwość podobna jak w poprzednim, czy muszę 'wykorzystać' wszystkie elementy)
Zadanie trzecie
Które zdanie o funkcji \(\displaystyle{ f: R \rightarrow R}\) są prawdziwe?:
a) jeśli funkcja jest rosnąca, to jest iniekcją
b) jeśli jest ściśle malejąca, to jest iniekcją
c) jeśli jest malejąca, to jest surjekcją
d) jeśli jest ściśle rosnąca, to jest surjekcją
Tutaj wątpliwość pojawia się tylko dlatego, że widziałam twierdzenie, że gdy funkcja jest ściśle rosnąca (malejąca) na \(\displaystyle{ [a,b]}\) to jest injekcją. Czemu musi (a może nie musi?) być zakładany przedział domknięty?
Odpowiedź b.
Zadanie czwarte
I co do przedziałów, to też chciałabym mieć pewność, które z przedziałów:
\(\displaystyle{ (a,b)}\), \(\displaystyle{ (a, \infty)}\) etc. są zamknięte, otwarte, a które nieograniczone. Bo jasne, że na przykład \(\displaystyle{ (a, \infty)}\) jest lewostronnie otwarty, prawostronnie nieograniczony. Czy to znaczy, że nie mogę go ogólnie nazwać ani otwartym, a nieograniczonym? Czy mogę takim i takim?
Zadanie piąte
Odwzorowanie \(\displaystyle{ f(x)=x^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ f: M \rightarrow N}\) jest:
a) bijekcją, gdy \(\displaystyle{ M=N=\mathbb{N}}\)
b) injekcją gdy \(\displaystyle{ M=N=\mathbb{Z}}\)
c) bijekcją, gdy \(\displaystyle{ M=N=\mathbb{R_{+}}}\)
d) surjekcją, gdy \(\displaystyle{ M=N=\mathbb{R}}\)
Odpowiedź b i c.
Zadanie szóste
Odwzorowanie \(\displaystyle{ f(x)=x^{3}-x}\), gdzie \(\displaystyle{ f: M \rightarrow N}\) jest:
a) bijekcją, gdy \(\displaystyle{ M=N=\mathbb{R}}\)
b) injekcją gdy \(\displaystyle{ M=N=\mathbb{N}}\)
c) bijekcją, gdy \(\displaystyle{ M=N=\mathbb{R_{+}}}\)
d) surjekcją, gdy \(\displaystyle{ M=N=\mathbb{Q}}\)
Odpowiedź b.
Zadanie siódme
Niech \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\)
oraz \(\displaystyle{ g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) to bijekcje. Które zdania są prawdziwe:
a) \(\displaystyle{ g \circ f = f \circ g}\)
b) \(\displaystyle{ (g \circ f)^{-1} = g^{-1} \circ f^{1}}\)
c) \(\displaystyle{ (g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g{1}}\)
Odpowiedź c.
Więc a jest prawdziwe, ale nie zawsze, gdy są bijekcjami. Tak?
Dziękuję z góry za sprawdzenie i uwagi!