Liczby względnie pierwsze

[szykom]

Witam!
Mam problem z udowodnieniem twierdzenia:
Jeżeli liczby naturalne a i b są względnie pierwsze, zaś ich iloczyn jest n-tą potęgą liczby naturalnej, to każda z liczb a i b jest n-tą potęgą liczby naturalnej.

Przybliżyłby mi ktoś dowód tego?
Z góry dzięki

[Zordon]

Rozważ rozkład \(\displaystyle{ ab}\) na czynniki pierwsze: \(\displaystyle{ ab=p_1^{nx_1}p_2^{nx_2}\cdot...\cdot p_k^{nx_k}}\).

[brzoskwinka1]

Mamy \(\displaystyle{ a=p_1^{ \alpha_1} \cdot p_2^{ \alpha_2 } \cdot ...\cdot p_k^{ \alpha_k} , b=q_1^{ \beta _1} \cdot q_2^{ \beta _2 } \cdot ...\cdot q_m^{ \beta _m} ,}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha_1 ,..., \alpha_k , \beta_1 ,..., \beta_m >0}\) oraz liczby \(\displaystyle{ p_1 <...<p_k ,q_1 <...<q_m}\) są liczbami pierwszymi . Ponieważ liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są względnie pierwsze więc wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p_1 ,...,p_k ,q_1 ,...,q_m}\) są różne między sobą a stąd \(\displaystyle{ a\cdot b =p_1^{ \alpha_1} \cdot p_2^{ \alpha_2 } \cdot ...\cdot p_k^{ \alpha_k} \cdot q_1^{ \beta _1} \cdot q_2^{ \beta _2 } \cdot ...\cdot q_m^{ \beta _m} .}\)
Jeżeli teraz liczba \(\displaystyle{ a\cdot b}\) jest \(\displaystyle{ n-}\)tą potęgą liczby całkowitej ,to musi być:

\(\displaystyle{ \left( \forall_{1 \le s \le k} n| \alpha_s\right) \wedge \left( \forall_{1 \le t \le m} n| \beta_t\right) ,}\)

co kończy dowód.