Znajdź wszystkie liczby pierwsze

[myslovitz0303]

Znajdź wszystkie liczby pierwsze p i q takie,że \(\displaystyle{ p^{2}-6 q^{2}=1}\)
Z góry dzięki

[Kaf]

Po prostym przekształceniu mamy: \(\displaystyle{ \left( p-1\right)\left( p+1\right) = 6q^2}\). Teraz należy rozważyć odpowiednie przypadki.

Jednak jeżeli się bliżej przyjrzeć to można sobie to trochę uprościć (wskazówka: popatrz na lewą stronę).

[vpprof]

Ciekawe, jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ p=5,\ q=2}\). A ciekaw jestem jak chcesz Kaf to uprościć?…

[Vax]

Jeżeli \(\displaystyle{ q\neq 2}\) to dostajemy sprzeczność \(\displaystyle{ \pmod{4}}\), skąd \(\displaystyle{ q=2 \Rightarrow p=5}\)

[Kaf]

vpprof, \(\displaystyle{ p=2}\) nie może być, zatem \(\displaystyle{ p}\) jest nieparzyste więc \(\displaystyle{ 6q^2}\) jest podzielne przez 4 (tutaj właśnie trzeba było popatrzeć na lewo), zatem \(\displaystyle{ q=2}\) przez co \(\displaystyle{ p=5}\). W takim sensie uprościć sobie rozwiązanie.

[vpprof]

Jeżeli \(\displaystyle{ q\neq 2}\) to dostajemy sprzeczność \(\displaystyle{ \pmod{4}}\), skąd \(\displaystyle{ q=2 \Rightarrow p=5}\)

Szczerze mówiąc jeszcze nie widzę tej sprzeczności, np. gdy \(\displaystyle{ q=3:\ (p-1)(p+1) \equiv 2 \cdot 3^2 \pmod4 \Longleftrightarrow p^2 \equiv 1 \pmod4}\) ale na pierwszy rzut oka nie widzę, czemu to jest sprzeczność…

vpprof, \(\displaystyle{ p=2}\) nie może być, zatem \(\displaystyle{ p}\) jest nieparzyste więc \(\displaystyle{ 6q^2}\) jest podzielne przez 4 (tutaj właśnie trzeba było popatrzeć na lewo)

Czemu? Zgadzam się, że \(\displaystyle{ p>2}\), zgadzam się że \(\displaystyle{ p^2-1}\) jest parzyste, ale skąd wiadomo że \(\displaystyle{ 4|6q^2}\) czyli że \(\displaystyle{ 2|q^2}\)?

[Kaf]

ale skąd wiadomo że \(\displaystyle{ 4|6q^2}\)

Skoro lewa się dzieli to prawa też.

[Vax]

Jeżeli \(\displaystyle{ q\neq 2}\) to dostajemy sprzeczność \(\displaystyle{ \pmod{4}}\), skąd \(\displaystyle{ q=2 \Rightarrow p=5}\)

Szczerze mówiąc jeszcze nie widzę tej sprzeczności

Dla nieparzystych \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ x^2 \equiv 1\pmod{4}}\), więc jeżeli \(\displaystyle{ q \neq 2}\) to \(\displaystyle{ 1 \equiv p^2-6q^2 \equiv p^2-6 \pmod{4} \iff p^2 \equiv 3\pmod{4}}\) sprzeczność.

To przejście jest niepoprawne:

\(\displaystyle{ (p-1)(p+1) \equiv 2 \cdot 3^2 \pmod4 \Longleftrightarrow p^2 \equiv 1 \pmod4}\)

[vpprof]

ale skąd wiadomo że \(\displaystyle{ 4|6q^2}\)

Skoro lewa się dzieli to prawa też.

Jeśli dobrze rozumiem, to na tym etapie wiemy tylko, że lewa dzieli się przez \(\displaystyle{ 2}\)?…

Dla nieparzystych \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ x^2 \equiv 1\pmod{4}}\), więc jeżeli \(\displaystyle{ q \neq 2}\) to \(\displaystyle{ 1 \equiv p^2-6q^2 \equiv p^2-6 \pmod{4} \iff p^2 \equiv 3\pmod{4}}\) sprzeczność.

Rozumiem. Nigdy nie myślałem o tym że kwadrat każdej liczby nieparzystej daje zawsze \(\displaystyle{ 1}\) a nigdy \(\displaystyle{ 3}\) reszty w dzieleniu przez \(\displaystyle{ 4}\)… ale rzeczywiście, łatwo to można pokazać Dzięki!

To przejście jest niepoprawne:

\(\displaystyle{ (p-1)(p+1) \equiv 2 \cdot 3^2 \pmod4 \Longleftrightarrow p^2 \equiv 1 \pmod4}\)

Tak tak, tam miało być \(\displaystyle{ p^2 \equiv \red - \black 1 \equiv 3 \pmod4}\).

[Kaf]

Jeśli dobrze rozumiem, to na tym etapie wiemy tylko, że lewa dzieli się przez \(\displaystyle{ 2}\)?…

\(\displaystyle{ p}\) jest liczbą nieparzystą, więc dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) naturalnego \(\displaystyle{ p=2k+1}\). Podstawmy to do lewej strony naszej równości: \(\displaystyle{ (p-1)(p+1)=(2k+1-1)(2k+1+1)=2k\cdot(2k+2)=4k^2+4k=4(k^2+k)}\). Rozpisałem wystarczająco, czy jakieś przekształcenie budzi wątpliwość?

[vpprof]

OK widać pomroczność jasna mnie ogarnęła. Dzięki