Znajdź wszystkie liczby pierwsze
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 25 sty 2014, o 20:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 2 razy
Znajdź wszystkie liczby pierwsze
Znajdź wszystkie liczby pierwsze p i q takie,że \(\displaystyle{ p^{2}-6 q^{2}=1}\)
Z góry dzięki
Z góry dzięki
-
- Użytkownik
- Posty: 826
- Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 187 razy
Znajdź wszystkie liczby pierwsze
Po prostym przekształceniu mamy: \(\displaystyle{ \left( p-1\right)\left( p+1\right) = 6q^2}\). Teraz należy rozważyć odpowiednie przypadki.
Jednak jeżeli się bliżej przyjrzeć to można sobie to trochę uprościć (wskazówka: popatrz na lewą stronę).
Jednak jeżeli się bliżej przyjrzeć to można sobie to trochę uprościć (wskazówka: popatrz na lewą stronę).
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Znajdź wszystkie liczby pierwsze
Jeżeli \(\displaystyle{ q\neq 2}\) to dostajemy sprzeczność \(\displaystyle{ \pmod{4}}\), skąd \(\displaystyle{ q=2 \Rightarrow p=5}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 826
- Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 187 razy
Znajdź wszystkie liczby pierwsze
vpprof, \(\displaystyle{ p=2}\) nie może być, zatem \(\displaystyle{ p}\) jest nieparzyste więc \(\displaystyle{ 6q^2}\) jest podzielne przez 4 (tutaj właśnie trzeba było popatrzeć na lewo), zatem \(\displaystyle{ q=2}\) przez co \(\displaystyle{ p=5}\). W takim sensie uprościć sobie rozwiązanie.
- vpprof
- Użytkownik
- Posty: 492
- Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 64 razy
Znajdź wszystkie liczby pierwsze
Szczerze mówiąc jeszcze nie widzę tej sprzeczności, np. gdy \(\displaystyle{ q=3:\ (p-1)(p+1) \equiv 2 \cdot 3^2 \pmod4 \Longleftrightarrow p^2 \equiv 1 \pmod4}\) ale na pierwszy rzut oka nie widzę, czemu to jest sprzeczność…Vax pisze:Jeżeli \(\displaystyle{ q\neq 2}\) to dostajemy sprzeczność \(\displaystyle{ \pmod{4}}\), skąd \(\displaystyle{ q=2 \Rightarrow p=5}\)
Czemu? Zgadzam się, że \(\displaystyle{ p>2}\), zgadzam się że \(\displaystyle{ p^2-1}\) jest parzyste, ale skąd wiadomo że \(\displaystyle{ 4|6q^2}\) czyli że \(\displaystyle{ 2|q^2}\)?Kaf pisze:vpprof, \(\displaystyle{ p=2}\) nie może być, zatem \(\displaystyle{ p}\) jest nieparzyste więc \(\displaystyle{ 6q^2}\) jest podzielne przez 4 (tutaj właśnie trzeba było popatrzeć na lewo)
-
- Użytkownik
- Posty: 826
- Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 187 razy
Znajdź wszystkie liczby pierwsze
Skoro lewa się dzieli to prawa też.vpprof pisze:ale skąd wiadomo że \(\displaystyle{ 4|6q^2}\)
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Znajdź wszystkie liczby pierwsze
Dla nieparzystych \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ x^2 \equiv 1\pmod{4}}\), więc jeżeli \(\displaystyle{ q \neq 2}\) to \(\displaystyle{ 1 \equiv p^2-6q^2 \equiv p^2-6 \pmod{4} \iff p^2 \equiv 3\pmod{4}}\) sprzeczność.vpprof pisze:Szczerze mówiąc jeszcze nie widzę tej sprzecznościVax pisze:Jeżeli \(\displaystyle{ q\neq 2}\) to dostajemy sprzeczność \(\displaystyle{ \pmod{4}}\), skąd \(\displaystyle{ q=2 \Rightarrow p=5}\)
To przejście jest niepoprawne:
vpprof pisze:\(\displaystyle{ (p-1)(p+1) \equiv 2 \cdot 3^2 \pmod4 \Longleftrightarrow p^2 \equiv 1 \pmod4}\)
- vpprof
- Użytkownik
- Posty: 492
- Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 64 razy
Znajdź wszystkie liczby pierwsze
Jeśli dobrze rozumiem, to na tym etapie wiemy tylko, że lewa dzieli się przez \(\displaystyle{ 2}\)?…Kaf pisze:Skoro lewa się dzieli to prawa też.vpprof pisze:ale skąd wiadomo że \(\displaystyle{ 4|6q^2}\)
Rozumiem. Nigdy nie myślałem o tym że kwadrat każdej liczby nieparzystej daje zawsze \(\displaystyle{ 1}\) a nigdy \(\displaystyle{ 3}\) reszty w dzieleniu przez \(\displaystyle{ 4}\)… ale rzeczywiście, łatwo to można pokazać Dzięki!Vax pisze:Dla nieparzystych \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ x^2 \equiv 1\pmod{4}}\), więc jeżeli \(\displaystyle{ q \neq 2}\) to \(\displaystyle{ 1 \equiv p^2-6q^2 \equiv p^2-6 \pmod{4} \iff p^2 \equiv 3\pmod{4}}\) sprzeczność.
Tak tak, tam miało być \(\displaystyle{ p^2 \equiv \red - \black 1 \equiv 3 \pmod4}\).Vax pisze:To przejście jest niepoprawne:vpprof pisze:\(\displaystyle{ (p-1)(p+1) \equiv 2 \cdot 3^2 \pmod4 \Longleftrightarrow p^2 \equiv 1 \pmod4}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 826
- Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 187 razy
Znajdź wszystkie liczby pierwsze
\(\displaystyle{ p}\) jest liczbą nieparzystą, więc dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) naturalnego \(\displaystyle{ p=2k+1}\). Podstawmy to do lewej strony naszej równości: \(\displaystyle{ (p-1)(p+1)=(2k+1-1)(2k+1+1)=2k\cdot(2k+2)=4k^2+4k=4(k^2+k)}\). Rozpisałem wystarczająco, czy jakieś przekształcenie budzi wątpliwość?vpprof pisze:Jeśli dobrze rozumiem, to na tym etapie wiemy tylko, że lewa dzieli się przez \(\displaystyle{ 2}\)?…