Systemy Liczbowe

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
createyourown
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 27 sty 2014, o 09:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Krakow
Podziękował: 1 raz

Systemy Liczbowe

Post autor: createyourown »

Witam, moj post bedzie dluzszy ale tylko dlatego ze opisuje w nim metode zadania, ktrore mam do rozwiazania. Chcialabym sie zapytac jedyniei czy moj tok rozumowania jest logiczny.
Za zadanie mam zamienic liczbe okresowa z podanego systemu na system dziesietny np.\(\displaystyle{ (0,(5)) _{7} = (0,8(3))_{10}}\)
\(\displaystyle{ (0,(5)) _{7}}\) =\(\displaystyle{ (0,555555........) _{7}}\) =\(\displaystyle{ \frac{5}{7} + \frac{5}{72} +\frac{5}{73}+ ....}\) =\(\displaystyle{ \frac{5}{7}*(1+\frac{1}{7}+\frac{1}{7x^2}+...) = \frac{5}{7} * \frac{1}{1-\frac{1}{7}}}\)
gdzie czerwone to wzor \(\displaystyle{ \frac{a1}{1-q}}\) - suma geometryczna o ilorazie mniejszym od ilosci
zatem dla \(\displaystyle{ (0,A9(CDE)) _{16}}\) musimy wykonac nastepujace obliczenia?
\(\displaystyle{ (0,A9(CDE)) _{16} = \frac{10}{16} + \frac{9}{16^{2}} +\frac{12}{16^{3}}+\frac{13}{16 ^{4} }+\frac{14}{16 ^{5} }+\frac{12}{16 ^{6} }+\frac{13}{16 ^{7} }+\frac{14}{16 ^{8} } + ... =}\)
\(\displaystyle{ \frac{10*16+9}{16^2} + \frac{12*16^2+13*16+14}{16 ^{5}} + \frac{12*16^2+13*16+14}{16 ^{8}} + \frac{12*16^2+13*16+14}{16^2} =}\)
\(\displaystyle{ \frac{169}{256}+\frac{3294}{16 ^{5} }+\frac{3294}{16 ^{8}}+\frac{3294}{16 ^{11} }+....=}\)
\(\displaystyle{ \frac{169}{256}+\frac{3294}{16 ^{5} }*(1+\frac{1}{16 ^{3} }+\frac{1}{16 ^{6} }+...)=}\)
\(\displaystyle{ \frac{169}{256}+\frac{3294}{16 ^{5} }*(1+\frac{1}{1-1/16 ^{3} })}\) itd.

W taki sposob mam przeliczac inne systemy czy jednak, zle to robie?
Awatar użytkownika
vpprof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 492
Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 64 razy

Systemy Liczbowe

Post autor: vpprof »

Metoda jest OK, zapis chaotyczny i przez to robisz literówki, raz jakieś \(\displaystyle{ x}\) z nikąd, potem \(\displaystyle{ 16^2}\) zamiast \(\displaystyle{ 16^{11}}\) w mianowniku, ale tu masz błąd:

\(\displaystyle{ \frac{169}{256}+\frac{3294}{16 ^{5} } \cdot \sum_{n \ge 0} \frac{1}{16 ^{3n} }=\frac{169}{256}+\frac{3294}{16 ^{5} } \cdot \frac{1}{1- \frac{1}{16^3} }}\) a ty masz w nawiasie tam jeszcze \(\displaystyle{ 1+}\).

Rozważ też prostszy sposób opisany tu 326565.htm#p5057317. Można go łatwo zaadaptować na potrzeby innych systemów liczbowych; i tak: \(\displaystyle{ \left[ 0,A9(CDE)\right]_{16}=\left[ \frac{A9+0,(CDE)}{100} \right]_{16} = \left[ \frac{A9+ \frac{CDE}{FFF} }{100} \right]_{16}=\frac{169+ \frac{3564}{4095} }{256}=0,66355597(527472)}\)
createyourown
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 27 sty 2014, o 09:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Krakow
Podziękował: 1 raz

Systemy Liczbowe

Post autor: createyourown »

o to jeszcze lepiej czyli uogolniej do kazdego systemu niedziesietnego bedzie (to juz chyba logiczne ale wole sie upewnic):

\(\displaystyle{ 0, a_{1}a_{2}...a_{n}(c_{1}c_{2}...c_{k}) _{b} =}\)

\(\displaystyle{ \left[ \frac{a_{1}a_{2}...a_{n}+0,c_{1}c_{2}...c_{k}}{ 10^{n} } \right] _{b} =}\)

\(\displaystyle{ \left[ \frac{a_{1}a_{2}...a_{n}+ \frac{ c_{1}c_{2}...c_{k}}{ b_{1} b_{2} ...b_{k} }}{ 10^{n} } \right] _{b}}\)
Awatar użytkownika
vpprof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 492
Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 64 razy

Systemy Liczbowe

Post autor: vpprof »

W sumie nie potrzeba silić się na jak najogólniejszy zapis, żeby zrozumieć metodę zamiany ułamka okresowego na zwykły, którą da się streścić w zdaniu: „okres w liczniku, pod każdą cyfrą licznika dziewiątka w mianowniku”. Adaptacja do innych systemów polega na zmianie dziewiątki na największą cyfrę. Dlaczego to działa, opisałem w zalinkowanym poście.

Natomiast w twoim poście też jest jedna mała literówka: \(\displaystyle{ \left[ \frac{a_{1}a_{2}...a_{n}+0,\red ( \black c_{1}c_{2}...c_{k}\red ) \black }{ 10^{n} } \right] _{b} =}\)

ale też i błąd, bo w mianowniku nie powinno być \(\displaystyle{ b_1b_2…b_k}\) tylko jakieś \(\displaystyle{ b'=b-1}\) a może po prostu \(\displaystyle{ b^k-1}\)?…

No i po trzecie, zapis typu \(\displaystyle{ a_1a_2…a_k}\) jest pewnym nadużyciem, bo oznacza normalnie mnożenie a tutaj kolejne cyfry, czyli tak naprawdę \(\displaystyle{ a_1b^{k-1}+…+a_kb^0}\). Jest to tym ważniejsze, że w nawiasie kwadratowym cyfry są w systemie o bazie \(\displaystyle{ b}\), czyli w środku nawiasu kwadratowego \(\displaystyle{ b}\) nie jest cyfrą, wszak dla każdego \(\displaystyle{ b:\ \left[ b\right]_b=\left[ 10\right]_b}\).
createyourown
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 27 sty 2014, o 09:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Krakow
Podziękował: 1 raz

Systemy Liczbowe

Post autor: createyourown »

Faktycznie, zapis kiepsko wyszedl, ale w sumie dzieki za szybka metode ;D
ODPOWIEDZ