Wykazać, że liczby \(\displaystyle{ \sin 1^{\circ}}\) i \(\displaystyle{ \cos 1^{\circ}}\) są niewymierne.
Jakieś podpowiedzi, wskazówki, może rozwiązania?
Pozdrawiam
Niewymierność sin 1 i cos 1
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 25 mar 2012, o 20:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawa
- Podziękował: 1 raz
Niewymierność sin 1 i cos 1
Ostatnio zmieniony 26 gru 2013, o 16:49 przez kamil13151, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Niewymierność sin 1 i cos 1
Dowód nie wprost: załóżmy, że \(\displaystyle{ \sin 1^{\circ}}\) jest liczbą wymierną. Wówczas \(\displaystyle{ \sin^2 1^{\circ}}\) również jest liczbą wymierną, a z jedynki trygonometrycznej mamy wymierność \(\displaystyle{ \cos^2 1^{\circ}}\). Ze wzoru na kosinus kąta podwojonego mamy wymierność \(\displaystyle{ \cos 2^{\circ}}\), zatem \(\displaystyle{ \sin^2 2^{\circ} \in \QQ}\), powtarzając to parę razy dochodzimy, że \(\displaystyle{ \cos 32^{\circ} \in \QQ}\), ale wtedy liczbą wymierną byłaby: \(\displaystyle{ \cos 30^{\circ}=\cos (32^{\circ}-2^{\circ})=...}\)