Niewymierność sin 1 i cos 1

[xilen]

Wykazać, że liczby \(\displaystyle{ \sin 1^{\circ}}\) i \(\displaystyle{ \cos 1^{\circ}}\) są niewymierne.
Jakieś podpowiedzi, wskazówki, może rozwiązania?

Pozdrawiam

[kamil13151]

Dowód nie wprost: załóżmy, że \(\displaystyle{ \sin 1^{\circ}}\) jest liczbą wymierną. Wówczas \(\displaystyle{ \sin^2 1^{\circ}}\) również jest liczbą wymierną, a z jedynki trygonometrycznej mamy wymierność \(\displaystyle{ \cos^2 1^{\circ}}\). Ze wzoru na kosinus kąta podwojonego mamy wymierność \(\displaystyle{ \cos 2^{\circ}}\), zatem \(\displaystyle{ \sin^2 2^{\circ} \in \QQ}\), powtarzając to parę razy dochodzimy, że \(\displaystyle{ \cos 32^{\circ} \in \QQ}\), ale wtedy liczbą wymierną byłaby: \(\displaystyle{ \cos 30^{\circ}=\cos (32^{\circ}-2^{\circ})=...}\)