Wykaż, że istnieje tylko jedna para takich liczb, że

[strefa61]

\(\displaystyle{ x^{2}-30 \cdot y^{2}=1}\) Wykaż, że istnieje tylko jedna para takich liczb x,y spełniająca równanie.
Jakas podpowiedź?

[bakala12]

To ma na pewno nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych.

[strefa61]

Nie ma takiej opcji, to zadanie jest ze szkoły i właściwie ja znalazłem coś takiego:
niech \(\displaystyle{ y=x-1}\) wtedy: \(\displaystyle{ x^{2}-30 \cdot (x-1)^{2}=1}\)
po przemnożeniu: \(\displaystyle{ -29 \cdot x^{2}+60 \cdot x-29=0}\)
z delty i wzorów na miejsca zerowe \(\displaystyle{ x=1 , x-1=0}\)
Jesli wezme \(\displaystyle{ y=x-z}\) gdzie \(\displaystyle{ z>1}\) to delta wychodzi ujemna.
Teraz: \(\displaystyle{ y=x+z}\) dla \(\displaystyle{ z>1}\) delta ujemna, dla \(\displaystyle{ z=1}\) miejsca zerowe nie są wymierne, a na pewno nie są całkowite. Więc wygląda na to, że faktycznie istnieje tylko 1 para: \(\displaystyle{ x=1}\) i \(\displaystyle{ y=0}\)

[Qń]

Więc wygląda na to, że faktycznie istnieje tylko 1 para: \(\displaystyle{ x=1}\) i \(\displaystyle{ y=0}\)

A co powiesz o \(\displaystyle{ x=11, y=2}\)?

Q.

[strefa61]

Faktycznie, czyli wygląda na to, że w szkole nie zawsze dają coś co jest prawda ;D
Tylko w takim razie w moim rozumowaniu w poprzednim komentarzu był błąd, tylko jaki.-- 14 gru 2013, o 16:21 --A już wiem, \(\displaystyle{ y=x-z}\) gdzie \(\displaystyle{ z>1}\) delta nie zawsze wyjdzie ujemna.

[seba174]

Witam!
Mam bardzo podobne polecenie zadania jednak z 1 znaczącą różnicą:

Wykazać, że istnieje tylko 1 para liczb pierwszych x,y, która spełnia równanie \(\displaystyle{ x^{2} - 30 \cdot y^{2} =1}\)

Zaznaczam, że zadanie jest na poziomie 1 liceum. Mój nauczyciel powiedział, że da się to rozwiązać bazując na dotychczasowych wiadomościach (tj. bez obliczania delty itp.).

[Ponewor]

Załóż sobie, że obie niewiadome są nieparzyste i sprawdź co się dzieje z resztami z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\).

[seba174]

\(\displaystyle{ x=2k+1 \\
y=2n+1 \\
k,n \in C}\)

I teraz chodzi Ci o:

\(\displaystyle{ \frac{x}{4}= \frac{2k+1}{4}}\) ?

[Ponewor]

Chodzi mi o to byś zastanowił się jakie reszty w dzieleniu przez \(\displaystyle{ 4}\) dają kwadraty liczb nieparzystych.

[seba174]

Zawsze dają resztę 1.

[Ponewor]

Wróć teraz do oryginalnego równania. Jaką resztę daje lewa strona, a jaką prawa?

[seba174]

Prawa strona daje resztę 1, a lewa 1+2 ?

[Ponewor]

Tak, lewa strona daje resztę \(\displaystyle{ 3}\). Te reszty są różne - otrzymaliśmy sprzeczność. Zatem coś nie tak musi być z założeniem, że obie niewiadome są nieparzyste.

[seba174]

Czyli któraś z niewiadomych jest parzysta?-- 11 lut 2014, o 23:49 --Aaaa, chodzi o to, że jedyną pierwszą parzystą jest 2?

[Ponewor]

Zgadza się.