Kongruencje a wyznacznik macierzy

[Tomaszko]

Witam.

Przerabiając listę zadań z kongruencji trafiłem na takie dwa zadania:

Zad.1 Udowodnić, że wyznacznik macierzy A jest różny od zera, jeśli

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 320&461&5264&72\\702&1008&{-967}&{-44}\\{-91}&2333&46&127\\164&{-216}&1862&469\end{bmatrix}}\)

Zad.2 Wyznacznik macierzy B jest dodatni i mniejszy od 100. Obliczyć wyznacznik bez użycia kalkulatora, jeśli

\(\displaystyle{ B=\begin{bmatrix} 676&117&522\\375&65&290\\825&143&639\end{bmatrix}}\)

Czy ktoś mógłby mi podpowiedzieć, jak mam wykorzystać kongruencje do zrobienia tych zadań?

Z góry dziękuję za pomoc

[Qń]

W pierwszym wystarczy obliczyć ten wyznacznik modulo \(\displaystyle{ 2}\) (czyli wszystkie wyrazy macierzy modulo \(\displaystyle{ 2}\) i wynik też modulo \(\displaystyle{ 2}\)) - okaże się, że jest równy jeden, czyli wyznacznik jest nieparzysty, czyli na pewno różny od zera.

A w drugim jeśli upieramy się przy kongruencjach, to można obliczyć wyznacznik modulo \(\displaystyle{ 4}\) i modulo \(\displaystyle{ 25}\), a następnie skorzystać z Chińskiego Twierdzenia o Resztach. Choć na oko zwykłe operacje elementarne byłyby szybsze.

Q.

[Tomaszko]

Faktycznie, zrobiłem według Twoich podpowiedzi i otrzymałem poprawny wynik.

Dziękuję.

[dagx3]

A skąd wiedziałeś żeby w pierwszym zadaniu liczyć modulo 2? A w kolejnych modulo 4i 25? Z góry dziekuje za odpowiedz.

[Zordon]

W zad 2. lepiej liczyć mod 13 Druga kolumna jest 0.