witam,
mam taką oto liczbę:
\(\displaystyle{ \sqrt{2} + \sqrt{3}}\)
muszę udowodnić jej niewymierność. czy będzie polegało to na tym, że udowodnię niewymierność obu tych pierwiastków i założę, że ich suma jest niewymierna czy na czymś innym to polega?
udowodnij niewymiernosc liczby
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 27 paź 2010, o 20:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
udowodnij niewymiernosc liczby
już wiem o tym, za łatwo by było.
ale na szczęście udało mi się znaleźć dowód na to, który podczas wcześniejszych poszukiwań musiał mi jakoś umknąc, także temat do zamknięcia
ale na szczęście udało mi się znaleźć dowód na to, który podczas wcześniejszych poszukiwań musiał mi jakoś umknąc, także temat do zamknięcia
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
udowodnij niewymiernosc liczby
Liczba \(\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt{3}}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^4-10x^2+1}\). Wystarczy teraz sprawdzić, że ten wielomian nie ma pierwiastków wymiernych, więc i dana liczba wymierna być nie może.-- 13 grudnia 2013, 20:50 --
Tematów nie mamy na zwyczaju zamykać, gdyż być może ktoś inny znajdzie to zadanie i zechce o coś zapytać.skwarek90 pisze: także temat do zamknięcia
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 6 cze 2013, o 20:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnów
- Podziękował: 1 raz
udowodnij niewymiernosc liczby
Można to zrobić prościej. Przypuśćmy, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{2} + \sqrt{3}}\) jest wymierna, oznaczmy ją jako \(\displaystyle{ a}\). Wtedy \(\displaystyle{ a ^{2}}\) też jest wymierne. ale\(\displaystyle{ a ^{2} = 2 + 3 + 2 \sqrt{6} = 5 + 2 \sqrt{6}}\). łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ 2\sqrt{6}}\) jest niewymierne. \(\displaystyle{ 5}\) jest wymierna czyli \(\displaystyle{ 5 + 2 \sqrt{6}}\) jest niewymierna - bo jest sumą liczby wymiernej i niewymiernej. Zatem sprzeczność. Czyli \(\displaystyle{ a}\) nie jest wymierne co kończy dowód.
Ostatnio zmieniony 21 gru 2013, o 22:21 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak tagów.
Powód: Brak tagów.