udowodnij niewymiernosc liczby

skwarek90 · Post autor: **skwarek90** » 13 gru 2013, o 20:43

witam,

mam taką oto liczbę:
\(\displaystyle{ \sqrt{2} + \sqrt{3}}\)

muszę udowodnić jej niewymierność. czy będzie polegało to na tym, że udowodnię niewymierność obu tych pierwiastków i założę, że ich suma jest niewymierna czy na czymś innym to polega?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 13 gru 2013, o 20:47

Suma niewymiernych moze być wymierna.

Z tw o wymiernym pierwiastku wielomianu może pójdzie.

skwarek90 · Post autor: **skwarek90** » 13 gru 2013, o 20:49

już wiem o tym, za łatwo by było.
ale na szczęście udało mi się znaleźć dowód na to, który podczas wcześniejszych poszukiwań musiał mi jakoś umknąc, także temat do zamknięcia

yorgin · Post autor: **yorgin** » 13 gru 2013, o 20:50

Liczba \(\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt{3}}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^4-10x^2+1}\). Wystarczy teraz sprawdzić, że ten wielomian nie ma pierwiastków wymiernych, więc i dana liczba wymierna być nie może.-- 13 grudnia 2013, 20:50 --

skwarek90 pisze: także temat do zamknięcia

Tematów nie mamy na zwyczaju zamykać, gdyż być może ktoś inny znajdzie to zadanie i zechce o coś zapytać.

krolikbuks · Post autor: **krolikbuks** » 21 gru 2013, o 22:03

Można to zrobić prościej. Przypuśćmy, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{2} + \sqrt{3}}\) jest wymierna, oznaczmy ją jako \(\displaystyle{ a}\). Wtedy \(\displaystyle{ a ^{2}}\) też jest wymierne. ale\(\displaystyle{ a ^{2} = 2 + 3 + 2 \sqrt{6} = 5 + 2 \sqrt{6}}\). łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ 2\sqrt{6}}\) jest niewymierne. \(\displaystyle{ 5}\) jest wymierna czyli \(\displaystyle{ 5 + 2 \sqrt{6}}\) jest niewymierna - bo jest sumą liczby wymiernej i niewymiernej. Zatem sprzeczność. Czyli \(\displaystyle{ a}\) nie jest wymierne co kończy dowód.